Hay dos retractarse de subconjuntos $A,B$ $S^{2}$ con la siguiente propiedad:
$A,B$ son homeomórficos pero dos pares de $(S^{2},A)$ $(S^{2},B)$ no homeomórficos.
La misma pregunta para $S^{n}$
Respuesta
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Voy a identificar a $S^2$ con la esfera de Riemann, el 1-punto compactification del plano complejo. Comience con el gráfico de $G\subset {\mathbb C}$, que es la unión de los cuatro segmentos que unen $0$ con los puntos de $\pm 1$$\pm i$. Ahora vamos a $A$ ser la unión de $G$ con los dos pequeños discos centrados en los puntos de $\pm 1$. Deje $B$ ser la unión de $G$ con los dos pequeños discos centrados en los puntos de $1, i$. A continuación, se contráctiles CW subcomplejos de $S^2$ ambos $A, B$ se retrae de $S^2$. Por otro lado, no hay homeomorphism $(S^2,A)\to (S^2,B)$. Por último, $A$ es claramente homeomórficos a $B$.
