Suma de la serie $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2z}{k^2 \pi^2-z^2}\cos kt$

Question

A partir de la relación:

$$\csc z=\frac{1}{z}+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2z}{z^2-k^2 \pi^2}$$

podemos obtener la suma de la siguiente serie?

$$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2z}{k^2 \pi^2-z^2}\cos kt$$

He intentado usar el valor absoluto, pero creo que tengo:

$$\sum_{k=1}^\infty \left|\frac{2z}{k^2 \pi^2-z^2}\right|$$

y no puedo ir. Alguna sugerencia por favor?

Answer 1

Considerar la serie a la suma : $$\tag{1}S(z,t):=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2z}{k^2 \pi^2-z^2}\cos kt$$ Su primera expresión es claramente el caso de degeneración $S(z,0)$.
Yo voy más bien buscar directamente una expresión general para $(1)$ usando series de Fourier de $\cos(xt)$ : $\;\displaystyle \cos(x\,t)=\frac{a_0(x)}2+\sum_{k=1}^{\infty} a_k(x)\cdot \cos(kt)\;$ como se expone aquí con el resultado (por $-\pi \le t \le \pi$) : $$\tag{2}\cos(x\,t)=\frac{2x\sin(\pi x)}{\pi}\left[\frac1{2x^2}+\frac{\cos(1t)}{1^2-x^2}-\frac{\cos(2t)}{2^2-x^2}+\frac{\cos(3t)}{3^2-x^2}-\cdots\right]$$

Set $x:=\dfrac z{\pi}\;$ para obtener :

$$\tag{3}\frac{\cos\left(z\,t/\pi\right)}{\sin(z)}=2z\left[\frac1{2z^2}+\frac{\cos(1t)}{\pi^2-z^2}-\frac{\cos(2t)}{(2\pi)^2-z^2}+\frac{\cos(3t)}{(3\pi)^2-z^2}-\cdots\right]$$

y la deseaba expresión : $$\tag{4}\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2z}{k^2 \pi^2-z^2}\cos kt=\frac 1z-\frac{\cos\left(z\,t/\pi\right)}{\sin(z)}$$

Yo no uso su expresión inicial (una simple consecuencia de esto), pero espero que ayudado de todos modos.