Analiticidad de C*-algebra de funciones con valores

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser un unital C*-álgebra y considerar una función de $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathcal{A}$. ¿Qué es una herramienta accesible para probar o refutar que $f$ es analítica, es decir, pueden ser localmente ampliado en una potencia de la serie de $z$?

Tomar como un ejemplo concreto $f_A(z) = \exp(zA-\overline{z}A^*)$ fijos $A\in \mathcal{A}$. Es $f_A$ una analítica de la función?

Answer 1

El holomorphic funcional de cálculo implica que cualquier función que iba a "esperar" para ser analítico es analítica y que el poder de la serie es exactamente lo que "debería" ser. Por ejemplo, $z \mapsto e^z$ es analítica y tiene el poder de la serie de $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$.

Sin embargo, no podemos esperar que su ejemplo $f_A(z)=exp(z A - \bar z A^*)$ a ser analítico. Para ver esto, vamos a especializarse para el caso en que $\mathcal A=\mathbb C$$A=1$. A continuación, su función es $$f(z)=exp(2i \ Im \ z),$$ where $Im \ z$ is the imaginary part of $z$. Power series should be in $z$, not in $Im \ z$ or $Re \ z$. Indeed, when we check whether the Cauchy-Riemann equations are satisfied, we see that the function $f$ no es analítica.

Para más detalles sobre la holomorphic funcional de cálculo, usted puede tener una mirada en Conway es Un Curso en el Análisis Funcional, en la Sección VII.4. Si usted está buscando para condiciones equivalentes a la analiticidad, usted puede encontrar un par en Takesaki la Teoría de las Álgebras de operadores III, de la búsqueda de libros de google enlace. (Seguramente hay mejores referencias disponibles, pero esto es lo que tengo a mi lado.)