Quiero comprobar que, si $G$ es un abelian topológico grupo, así que es su finalización $\widehat{G}$.
Tenga en cuenta que $G$ no es necesariamente un espacio métrico. Por lo tanto definimos una secuencia $x_n$ es de Cauchy si para cada vecindario $U$ $0$ existe un $N$ tal que para $n,m \geq N$, $x_n - x_m \in U$.
Para mí es claro que la constante de secuencia $\bar{0}$ es de Cauchy y por lo tanto en la $\widehat{G}$. También está claro que si $x_n$ es de Cauchy, entonces también lo es $-x_n$.
La parte no estoy seguro es que, si definimos el grupo de operación de elementwise: $\overline{x} + \overline{y} = (x_n) + (y_n) = (x_n + y_n) = \overline{x+y}$, entonces tengo que comprobar dos cosas: la primera es que además está bien definido, que es el si $\overline{x} = \overline{x^\prime}$ $\overline{y} = \overline{y^\prime}$ $\overline{x} + \overline{y} = \overline{x^\prime} + \overline{y^\prime}$ y también que $\overline{x} + \overline{y}$ es de Cauchy.
Así que pensé que tal vez podría mostrar que $\overline{x} + \overline{y}$ es de Cauchy por hacer algo como esto: $x_n + y_n = (x_n - x_m) + (x_m + y_i) + (y_n - y_i)$ pero no puedo decir nada acerca de $x_m + y_i$.
Podría alguien por favor, muéstrame cómo comprobar estas dos propiedades? Gracias.
Editar
Esta es la parte pertinente de Atiyah-Macdonald:
