Evaluar

Question

Esta es una integral que no sé la respuesta:

$$\int^1_0 \frac{dx}{x^2+x+1}$$

Intenté utilizar números complejos para resolver es decir, la raíz de $x^2+x+1$ es $(-1/2 + \sqrt {3}i/2)$. Que w = $(-1/2 + \sqrt {3}i/2)$, entonces se convierte en $ \int_{0}^{1} 1/(x-w)^2\,\mathrm{d} (x-w)$, la respuesta es en términos de número complejo. Quiero preguntar si mi método es correcto y buscar otro método. Gracias.

Answer 1

$$I := \int^1_0 \frac{dx}{x^2+x+1}$$

¡Esto parece un trabajo para... $\arctan$!

Recordar que

$$\int\frac{du}{u^2+a^2} = \frac { \arctan \left( \frac {u}{a} \right)} {a} + C$$

Completar el cuadrado en la parte inferior para obtener

$$I = \int^1_0 \frac{dx} {{\left(x+\frac{1}{2} \right)}^2 + \frac{3}{4}}$$

Que $u = x + \frac{1}{2}, du = dx$.

$$ \frac { 2\arctan \left( \frac{2u}{\sqrt{3}} \right) } {\sqrt{3}}$$

Sustitutos de espalda $u=x+\frac{1}{2}$ para obtener:

$$ \frac { 2\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) } {\sqrt{3}}$$

Ahora a evaluar en sus extremos para obtener

$$I = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \approx .605$$

Answer 2

Su idea de la utilización de funciones complejas de trabajo, pero usted parece creer que el polinomio tiene sólo una raíz, mientras que en realidad tiene dos diferentes (complejo conjugado, por supuesto, como el polinomio es real) raíces: $$x^2+x+1=\left(x+\frac{1+\sqrt 3i}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt 3i}{2}\right)=(x+w)(x+\overline w)\,\,,\,w:=\frac{1+\sqrt 3i}{2}$$ (nota: $\,w\,$ es una raíz de la unidad de orden 6, aunque esto es importante, aquí sólo para escribir $\,|w| = 1\,$) y a partir de aquí podemos obtener $$\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1}{(x+w)(x+\overline w)}=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\left(\frac{1}{x+\overline w}-\frac{1}{x+w}\right)\Longrightarrow$$ $$\Longrightarrow \int_0^1\frac{dx}{x^2+x+1}=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\left(\int_0^1\frac{dx}{x+\overline w}-\int_0^1\frac{dx}{x+w}\right)=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\left.\left(Log(x+\overline w)-Log(x+w)\right)\right|_0^1$$ Ahora elegir la rama principal del complejo logaritmo, y obtenemos: $$\int_0^1\frac{dx}{x^2+x+1}=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\left.Log\left(\frac{x+\overline w}{x+w}\right)\right|_0^1=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\left.Log\left(\frac{(x+\overline w)^2}{|x+ w|^2}\right)\right|_0^1=$$ $$=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\left(Log\frac{(1+\overline w)^2}{|1+w|^2}-Log\frac{\overline w^2}{|w|^2}\right)=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\left[Log\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)-Log\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)\right]=$$ $$=\frac{1}{\sqrt 3\,i}\,i\left[\frac{5\pi}{3}-\frac{4\pi}{3}=\right]=\frac{\pi}{3\sqrt 3}$$

Se obtiene, por supuesto, el mismo resultado que el primero, mucho más simple, la respuesta de Joe, y usted no tiene que meterse con funciones complejas, sus ramas, conjugados y otras bestias...sin embargo, es factible!

Answer 3

Tenga en cuenta que $$x^2+x+1=\frac{1}{4}(4x^2+4x+4)=\frac{1}{4}((2x+1)^2+3).$$ Hacer el cambio de variable $2x+1=\sqrt{3}u$. Cuando el humo se disipa, usted tendrá una muy familiar integral.

Observación: El número complejo enfoque puede ser hecho para trabajar. Los detalles en el post no son correctos, la expresión en la parte inferior tiene dos distintas raíces. Una vez que la pieza se limpia, se puede utilizar fracciones parciales. La respuesta es, en términos de complejos logaritmos, lo cual puede ser peligroso. No se recomienda a menos que uno tenga el control completo de la situación! Pero lleva a cabo una interesante conexión entre el logaritmo complejo y el $\arctan$ función.

Answer 4

Puede completar la plaza con el denominador. Piense en cómo usted sería convertirlo en un arctan integral. $$\int \frac{1}{x^2+1}\ \mathrm{d}x=\tan^{-1}x+C$$

Answer 5

\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2+x+1} dx &=& \int_{0}^{1} \dfrac{1}{(x+1/2)^2 +3/4} dx \\ &=& \int_{1/2}^{3/2} \dfrac{1}{y^2 +3/4}dy \\ &=& \dfrac{4}{3}\int_{1/2}^{3/2} \dfrac{1}{(\dfrac{2}{\sqrt{3}}y)^2 + 1} dy \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{4}{3} \int_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{z^2+1} dz\\ &=& 2 \dfrac{\sqrt{3}}{3} (\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(\sqrt{3}/3))\\ &=&2 \dfrac{\sqrt{3}}{3}( \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6})\\ &=& \dfrac{\sqrt{3}\pi}{9}\\ &=& 0,6045997880781 \end{eqnarray}