Tengo el siguiente ejercicio:
Deje $G$ ser un subconjunto de a $\mathbb{C}$ y deje $f$ ser un uno a uno la función en $H(G)$ tal que $f'(z)\neq0$ todos los $z\in G$.
Para cada una de las $\omega\in f(G)$ deje $g(\omega)$ denotar el complejo único número de $z\in G$ que $f(z)=\omega$.
Supongamos que el disco cerrado $\overline{D(z_{o},r)}\subseteq G$ y que $\gamma:[0,2\pi]\to G$ es la curva dada por $\gamma(t)=z_{0}+re^{it}$.
Demostrar, con la ayuda del teorema de los residuos, que, para cada $\omega\in f(D(z_{0},r))$ $$g(\omega)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{zf'(z)}{f(z)-\omega}\, dz$$
La solución también debe explicar por qué esta integral está bien definido.
Voy a dividir mi pregunta en dos partes:
- Yo tengo una solución para el caso de que $g(\omega)\neq0$, pero no es un argumento en el que yo no puedo totalmente justificar:
Considere la función $$ \frac{zf'(z)}{f(z)-\omega} $$
el punto singular al $$ f(z)=\omega $$
desde $f$ $1-1$ $\omega$ es en la imagen de $f$, existe una el punto único de $z_{1}$ s.t $$ f(z_{1})=\omega $$
Desde $f'(z)\neq0$ tenemos que $$ h(z):=f(z)-\omega $$
tiene un cero de orden $1$. suponga $z_{1}$ mapas a $\omega$
$z_{1}f'(z_{1})\neq0$ y $f(z_{1})-\omega=0$, $(f-\omega)'=f'\neq0$ por lo tanto $$ Res\frac{zf'(z)}{f(z)-\omega} $$
en $z=z_{1}$ es $$ \frac{z_{1}f'(z_{1})}{(f(z)-\omega)'_{z_{1}}}=z_{1} $$
y por el teorema de los residuos $$ \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{zf'(z)}{f(z)-\omega}=\frac{1}{2\pi i}2\pi iz_{1}=z_{1}=g(\omega) $$
La parte que no puedo justificar es la razón por la $h$ tiene un cero de orden $1$ ? Creo que es porque $f$$1-1$, pero no estoy seguro de cómo utilizar es
2) no creo que tenga para al $g(\omega)=0$, desde entonces $$z_{1}f'(z_{1})=0\cdot f'(0)=0$$ y entonces no puedo usar el teorema he utilizado.
Por favor alguien puede ayudarme con este caso ?
Añadido posterior:
Me estoy refiriendo a la siguiente teorema, que se puede encontrar en la página $253$ de la libreta de Variables Complejas y Aplicaciones por parte de Brown y Churchill:
Vamos dos funciones $p,q$ ser holomorphic en un punto de $z_{0}$. Si $p(z_{0})\neq0,q(z_{0})=0$ $q'(z_{0})\neq0$ $$Res_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_{0})}{q'(z_{0})}$$
