Límites de $a_n, b_n, c_n$

Question

Tres dado positivo $a_1, b_1, c_1$, que $a_1+b_1+c_1=1, \forall\ n,$ $$a_{n+1}=a_n^2+2b_nc_n, b_{n+1}=b_n^2+2a_nc_n, c_{n+1}=c_n^2+2a_nb_n$ $Prove $\{a_n\},\{b_n\}$ y $ \{c_n\} $ son convergentes.

He notado que si sume tres igualdades, para obtener $ #% de $$a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=(a_n+b_n+c_n)^2$% #% se trata. También, obtener $\forall \ n, a_n+b_n+c_n=1$ $ pero no sé cómo seguir demostrando que son convergentes? Sinceramente gracias por nuestra ayuda.

Answer 1

Ya ha encontrado que: $\forall \ n, a_n+b_n+c_n=1$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que: $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$. Entonces:

$a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}c_{n}+b_{n}c_{n}\leq a_{n}c_{n}+b_{n}c_{n}+c_{n}c_{n}=c_{n}(a_{n}+b_{n}+c_{n})=c_{n}$.

Del mismo modo, $b_{n+1}=b_{n}^{2}+2a_{n}c_{n}\leq b_{n}c_{n}+a_{n}c_{n}+c_{n}^{2}=c_{n}(a_{n}+b_{n}+c_{n})=c_{n}$

Y, $c_{n+1}=c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n}\leq c_{n}^{2}+a_{n}c_{n}+a_{n}b_{n}=c_{n}$.

Así: $\max{\{a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}\}}\leq c_{n}$

Habíamos supuesto que $a_{n}$ $c_{n}$ fueron delimitadas anteriormente por $b_{n}$ o $b_{n}$ $c_{n}$ fueron delimitadas anteriormente por $a_{n}$ nos habría conseguido respectivamente:

$\max{\{a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}\}}\leq b_{n}$ o $\max{\{a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}\}}\leq a_{n}$

Así que, finalmente:

$\max{\{a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}\}}\leq \max{\{a_{n},b_{n},c_{n}\}}$

Un argumento similar puede ser utilizado para el menor plazo: suponiendo de nuevo que: $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$, tenemos:

$a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n}\geq a_{n}^{2}+b_{n}a_{n}+c_{n}a_{n}= a_{n}$ y así sucesivamente.

Así que conculde que el mayor $n$-ésimo término se forma una monótona disminución de la secuencia que está delimitada por debajo, mientras que el más pequeño de $n$-ésimo término formas un aumento de la secuencia delimitada por encima.

Esta respuesta está en el enlace de abajo donde van más allá para encontrar el límite de cada secuencia.

Fuente: Este problema es de Putnam de la Competencia de 1947 https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol475.html

Answer 2

Esto no es una respuesta completa sino más bien una sugerencia para un intento.

Tenga en cuenta que % $ $$\forall n,\;a_{n+1}+b_{n+1} = 1-c_{n+1}$tan\begin{eqnarray*} \forall n,\;a_{n+1} &= \frac{1}{2}[(a_{n+1}-b_{n+1}) + (a_{n+1}+b_{n+1})]\\ &= \frac{1}{2}\left[(a_1-b_1)\prod_{i=1}^n(1-3c_i) + 1-c_{n+1}\right] \end{eqnarray *} y semejantemente\begin{eqnarray*} \forall n,\;b_{n+1} &= \frac{1}{2}[(a_{n+1}-b_{n+1}) - (a_{n+1}+b_{n+1})]\\ &= \frac{1}{2}\left[(a_1-b_1)\prod_{i=1}^n(1-3c_i) - 1+c_{n+1}\right] \end{eqnarray *}

Por lo tanto, usted puede conectar estas fórmulas en $c_{n+1} = c_n^2+2a_nb_n$ $$c_{n+1} = c_n^2+\frac{1}{2}\left[(a_1-b_1)\prod_{i=1}^{n-1}(1-3c_i) + 1-c_{n}\right]\left[(a_1-b_1)\prod_{i=1}^{n-1}(1-3c_i) - 1+c_{n}\right].$ $ de obtener

Por lo menos, esto le da una expresión de $c_{n+1}$ utilizando las constantes y $c_1,\dots,c_n$ $a_1,b_1$. Espero que ayude...