¿Podemos determinar orden de $xy$ $G$ si sabemos orden de $x$ y $y$?
Sé que la respuesta es sí para grupos abelianos y supongo que la respuesta es no para el caso de nonabelian. Es por eso que busco relación útil sobre $|xy|$.
He encontrado uno que dice que $|xy|=|yx|$ para cualquier grupo.
Cualquier relación útil sobre $|xy|$ agradecería, gracias.
La única útil declaración general que puedo pensar, es que si $G$ es finita solucionable grupo, y $x,y \in G$ han coprime órdenes, a continuación, $o(xy),$ el orden de $xy,$ no es coprime a $o(x)o(y).$ Esta es una afirmación equivalente a un Teorema de P. Hall (generalmente se indica en el formulario que en un número finito de solucionable grupo, el producto de los tres elementos de pares coprime orden no puede ser la identidad (excepto cuando son todos de la identidad)). Esto es relativamente fácil de probar: vamos a $M$ ser un mínimo normal subgrupo de $G$. Desde $M$ es un elemental Abelian $p$-grupo de algunos de los mejores $p,$ el resultado es claro si $x,y \in M.$ lo Contrario, por inducción, el orden de $xyM$ debe tener un factor común con $o(xM)o(yM).$ Desde $o(xyM)$ divide $o(xy)$, se puede concluir que la $o(xy)$ sin duda tiene un no-trivial, común factor $o(x)o(y).$ Si mi memoria es correcta, el Teorema de P. Hall caracteriza finito solucionable grupos, como corolario de J. G. Thompson $N$-grupo de papel. Es decir, un grupo finito $G$ tiene solución si y sólo si no contiene tres elementos distintos de a pares coprime orden cuyo producto es la identidad.
El orden del producto de dos elementos de determinado orden puede ser arbitraria grandes. Consideremos por ejemplo el grupo diedro $D_n$ $2n$ de la orden. Este grupo se genera por dos involuciones $x,y$ siendo del orden de $xy$ $n$. Más precisamente, $D_n$ tiene la presentación $D_n = \langle x,y | x^2=y^2=1, (xy)^n = 1\rangle$. El grupo diédrico infinito $\langle x,y | x^2=y^2=1 \rangle = C_2 * C_2$ es generado por dos involuciones cuyo producto tiene orden infinito.
Si usted asume que su grupo es generado por los elementos $x$$y$, por lo que si usted acaba de ver en el subgrupo de $\langle x, y\rangle$, entonces usted puede trabajar en algunas cosas. La siguiente respuesta se ve en el "máximo posible" ejemplos, con respecto a homomórfica imágenes.
Versión corta: depende de la suma siguiente. $$\frac{1}{|x|}+\frac{1}{|y|}+\frac{1}{|xy|}$$ Si este es mayor que uno, a continuación, su grupo es finito, mientras que si es menor o igual a uno, entonces su grupo es infinito. Si es menor que uno, entonces su grupo es hiperbólica, así que usted consigue un montón de cosas que suceden y un montón de cosas que no ocurra (pero esas cosas no son necesariamente conserva bajo homomórfica imágenes).
Versión larga:
Un triángulo grupo es un grupo con una presentación de la forma siguiente. $$T_{(i, j, k)}=\langle a, b; a^i, b^j, (ab)^k\rangle\cong \langle a, b, c; a^i, b^j, c^k, abc\rangle$$ Estos grupos no son triviales para $i, j, k>1$. Se llama triángulo de grupos, ya que se corresponden a las simetrías$^{[1]}$ de un plano cubierto con triángulos congruentes con los ángulos $\frac{\pi}{i}$, $\frac{\pi}{j}$ y $\frac{\pi}{k}$ (por lo que la ley no trivialmente sobre algún objeto, por lo que no puede ser trivial).
Por lo tanto, para cada par de triples $(i, j, k)$ existe un grupo de elementos de la $x$ $y$ orden $i$$j$, respectivamente, tal que $xy$ orden $k$. Tenga en cuenta que tomar el producto libre $C_i\ast C_j$ vemos que $k$ puede ser infinito también.
Usted podría preguntarse si el grupo $T_{(i, j, k)}$ correspondiente a su favorito de la triple a es finito o infinito, y voy a mencionar que, a continuación.
Por ejemplo, el $(3, 3, 3)$ triángulo grupo corresponde a la segmentación del plano Euclidiano por triángulos equiláteros, que se ilustra a continuación.
Triángulo de grupos de actuar en su correspondiente apuntados como sigue.
Mediante esta acción, no es difícil probar que en cada triángulo grupo $\langle a, b, c; a^i, b^j, c^k, abc\rangle$ de los subgrupos $\langle a\rangle$, $\langle b\rangle$ y $\langle c\rangle$ se cruzan trivialmente.
Ahora, el ejemplo anterior se $T_{(3, 3, 3)}$ es infinita porque el mosaico es infinito. En general, los siguientes mantenga.
Para obtener más detalles y ejemplos, consulte la wikipedia el artículo$^{[2]}$. Nota: Este es también el lugar donde me robaron las imágenes de arriba.
$^{[1]}$ Traslaciones y rotaciones, pero no reflexiones. Si se incluyen las reflexiones de los grupos que estoy discutiendo la forma de un índice-dos subgrupos.
$^{[2]}$ Lo que el artículo llama triángulo de grupos es en realidad el grupo de simetrías de las baldosas, incluyendo reflexiones. Este es, en mi opinión, no estándar (he escrito un poco, y leer mucho, sobre el triángulo de los grupos). Lo que yo llamo el triángulo de grupos el artículo se llama "von Dique de grupos".
Si $n, m>1$, entonces el grupo presentado por $\langle x, y \mid x^n=y^m=1\rangle$ es de orden infinito, con cada uno de sus elementos representadas únicamente como una palabra en $x$ y $y$ que no contiene ninguna cadena contigua de $n$ %#% de #% o $x$ $m$ ' s. En particular, $y$ tiene orden infinito.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
