¿Es mi prueba lógicamente sonido?

Question

Demostrar que para conjuntos arbitrarios A, B y C %#% $ #%

Mi prueba

Asumir $$ A \subseteq B \implies (A \cap C) \subseteq (A \cap B). $. De esta suposición obtenemos $A \subseteq B$. Si asumimos que el $x \in A \implies x \in B$ y $x \in (A \cap C)$ y $x \in A$. De nuestra hipótesis, se desprende que $x \in C$. Desde $x \in B$ y $x \in A$ podemos concluir que el $x \in B$.

Answer 1

Esta prueba es correcta. Puede simplificarse señalando que $A\cap B=A$ que implica directamente el resultado desde $A\cap C\subseteq A$. Puesto en escrito completamente, iría ese argumento como sigue.

Que $A\subseteq B$. Entonces $A\cap B=A$. Desde $A\cap C\subseteq A$ sostiene siempre, obtenemos $A\cap C\subseteq A=A\cap B$.

Answer 2

¡Lógicamente es totalmente correcto!

Pero tal vez sólo tiene que añadir un poco a esa última frase:

"Desde $x \in A$ y $x \in B$ $\color{red}{\text{we know that $x \in A \cap B $, and thus}}$ podemos concluir que el $A \subseteq B \implies (A \cap C) \subseteq (A \cap B)$."