Demostrar la convergencia uniforme de $f_{1}(x)= \sqrt x , f_{n+1}(x)=\sqrt{x+f_n(x)}$ en $[0,\infty]$

Question

Según tengo entendido, la mayoría de estas preguntas utilizan la prueba M, pero no encuentro una serie que sea suficiente.

Answer 1

Espera. $\lim\limits_{x\to0}f_n(x)=0$ pero $\lim\limits_{x\to0}f_\infty(x)=1$ . No hay convergencia uniforme.

Aparentemente, $f_\infty(x)=\sqrt{x+{1\over4}}+{1\over2}$

Quizás quieras mostrar la convergencia uniforme en $(1,\infty)$ ou $(\varepsilon,\infty)$ Esa es otra historia, y muy sencilla.