Escribo $|X|$ para el número de elementos de un conjunto finito $X$. Recordar algunos hechos básicos:
Si $p$ es un número primo, entonces cualquier grupo $G$ orden $p^2$ es abelian.
Croquis de la prueba: Revisión de un primer $p$ y un grupo de $G$. El centro de $Z(G)$ $G$ debe ser no trivial por la clase de ecuación, y por lo tanto tienen el fin de $p$ o $p^2$. Por lo $G/Z(G)$ orden $p$ o $1$. Por lo $G/Z(G)$ es cíclico. Por lo $G$ es abelian.
Si $p < q$ son números primos, entonces hay una nonabelian grupo de orden $pq$ si y sólo si $q = 1 \pmod{p}$, y en este caso no es sólo uno de esos nonabelian grupo (hasta el isomorfismo).
Croquis de la prueba: Revisión de los números primos $p < q$ y un grupo de $G$ orden $pq$. El uso de Sylow de la teoría a la conclusión de que la $G$ tiene un único (y, por tanto, normal) subgrupo $H_q$ orden $q$, y un subgrupo $H_p$ orden $p$, y el uso de primaria observaciones para comprobar que $H_q \cap H_p = \{1\}$$G = H_q H_p$, de modo que $G$ es algunos semidirect producto $H_q \rtimes H_p$. Desde $H_q$ es cíclica, $|\operatorname{Aut}(H_q)| = q-1$, y así al $q \neq 1 \pmod{p}$, Lagrange del teorema muestra que no hay ninguna que no sea trivial homomorphisms $H_p \to \operatorname{Aut}(H_q)$, lo que implica que $G$ es abelian en este caso. Al $q = 1 \pmod{p}$, la existencia de un trivial homomorphisms $H_p \to \operatorname{Aut}(H_q)$ y la independencia de la estructura de la resultante de semidirect producto en la elección de trivial homomorphism se discuten en matemáticas.SE post.
Juntos, estos hechos implican:
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No hay nonabelian grupos de orden impar menor que $21$.
(Sólo números impares menos de $21$ además $1$ y los primos que preocuparse $9$$15$, los cuales son cubiertos por los anteriores resultados generales.)
Hay un único nonabelian grupo de orden $21$, y puede ser realizado por la elección de cualquiera que no sea trivial homomorphism $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to \operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})$ y la formación de la correspondiente semidirect producto. Por ejemplo (tomado de el por encima de las matemáticas.SE post), se podría utilizar el único homomorphism el envío de $1$ a "la multiplicación por $2$".)
Ahora para mi ligeramente subjetiva pregunta:
Hay menos "técnica" o "más profundas" construcciones de la nonabelian grupo de orden $21$?
Para ser más claro acerca de mi tipo fuzzy requisitos:
No me importa si la construcción no arrojar ninguna luz sobre la inexistencia de nonabelian grupos de orden menor.
Yo quiero a ser posible definir el grupo, y ver que es nonabelian, y de la orden de 21, sin llamar demasiado grupo de teóricos de la maquinaria.
Idealmente, la construcción debe minimizar la computación. Uno podría, por ejemplo, presentan dos permutaciones de un pequeño conjunto finito que generan el grupo--- pero la verificación de que el grupo que generan cuenta con 21 elementos y es nonabelian es totalmente computacional. E incluso si los cálculos están bien organizados, este enfoque da un poco de idea de donde este grupo puede "venir de". (Si una presentación específica vino con un insight geométrico dejando claro por qué el grupo resultante tendría el fin de $21$ sin cálculo, será increíble.)
Para explicar la motivación detrás de mi pregunta: yo era la enseñanza de álgebra, y se le preguntó en horas de oficina, si nonabelian grupos de la extraña orden, aún existía. "Por supuesto que sí," dije. Entonces me di cuenta de que era bastante difícil para exhibir uno, teniendo en cuenta dónde estábamos en la clase. Tuvimos la básica homomorphism teoremas, pero:
- No habíamos hecho los teoremas de Sylow o semidirect productos.
- No sabíamos sobre campos finitos todavía.
- Todos de los miembros de las familias de los grupos" que habíamos discutido hasta ese punto--- grupos simétricos, alternando los grupos, diedro grupos--- cuando nonabelian, tienen aún el fin.
- Todos nonabelian grupos de orden menor que $21$, ya sea o no que en las familias que acabo de mencionar, incluso han pedido.
Por lo que vale: el "más elementales" ejemplo de un pequeño nonabelian grupo de los impares de la orden que se me ocurre es el conjunto de todos los $3 \times 3$ matrices con entradas en el campo de la con $3$ elementos que son (a) triangular superior y (b) $1$s abajo de la diagonal. (Esto es claramente un nonabelian grupo, y como claramente ha $27$ elementos.) Esto pasa a ser el siguiente más pequeño nonabelian grupo de orden impar.
