Prueba de Oda no homogénea está delimitado

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje $x(t)$ ser una solución de la urografía EXCRETORA $$\dot x=a(t)x+h(t),$$ donde $A(t), h(t)$ continua en $1\le t<\infty$. Suponga que $$\int_1^\infty \| A(t)\|\,dt < \infty\quad \text{y}\quad \int_1^\infty \|h(t)\|\,dt < \infty.$$

Demostrar que $x(t)$ está delimitado por $t\ge1$.

Tengo algo de trabajo, pero estoy dudoso en su legitmacy. Escribí la solución de $x(t)$ en forma integral así:

$$x(t)=\frac1\mu\left(C+\int_\tau^t \mu(s)h(s)\,ds\,\right).$$

A continuación, utilizando la condición inicial de que $x(\tau)=\xi$ tenemos $C=\xi\mu(\tau)$, por lo que la fórmula anterior es ahora:

$$x(t,\tau,\xi)=\exp\Big(\int_\tau^t(s)\,ds\Big)\xi +\int_\tau^t \exp\Big(\int_s^t(w)\,dw\Big)\,h(s)\,ds.$$

Entonces claramente $\|x(t)\|$ está limitada solamente cuando es parte integral de la ecuación está limitada que requiere tanto de la $\int_1^\infty \|A(t)\|\,dt < \infty$$\int_1^\infty \|h(t)\|\,dt < \infty$.

Simplemente no estoy seguro de si esta es la manera correcta de ir sobre esta prueba.

Cualquier orientación sería muy apreciada.

Answer 1

Permítanme tratar de proporcionar una respuesta más breve:

Primera observación. Esto es suficiente para mostrar que la solución de $\varPhi(t;\tau)$ del valor inicial del problema $$\left\{\begin{array}{lc}X'=A(t)X, \\ X(\tau)=I,\end{array}\right. \qquad\qquad (\estrellas)$$ donde $I$ es la matriz identidad en $\mathbb R^{n\times n}$, e $X\in\mathbb R^{n\times n}$ es uniformemente acotada por $1\le \tau <\infty$.

De hecho, si $\|\varPhi(t;\tau)\|\le M$, y como la solución de $$x'=A(t)x, \quad x(1)=\xi,$$ se expresa como $$x(t)=\varPhi(t;1)\xi+\int_1^t \varPhi(t;s) \,h(s)\,ds,$$ entonces $$\|x(t)\|\le M\|\xi\|+M\int_1^\infty \|h(s)\|\,ds.$$

La prueba de la acotamiento uniforme de $\varPhi(t;\tau)$. Deje $a(t)=\|A(t)\|$, $L^2-$norma (operador de la norma), y para fija $\tau\ge 1$, $y(t)=\|\varPhi(t;\tau)\|$. A continuación, $\varPhi$ satisface el equivalente a la $(\star)$ ecuación integral $$\varPhi(t;\tau)=I+\int_\tau^t(s)\,\varPhi(s;\tau)\,ds,$$ implica que $$y(t)\le 1+\int_\tau^t(s)\,y(s)\,ds, \qquad\qquad (\estrellas\estrellas)$$ y como en el trato con Gronwald del tipo de desigualdades, multiplicando ambos lados de la anterior por $a(t)\exp\big(-\int_\tau^t a(s)\,ds\big)$, obtenemos $$a(t)y(t)\exp\big(-\int_\tau^t(s)\,ds\big)-a(t)\exp\big(-\int_\tau^t(s)\,ds\big)\int_\tau^t(s)\,y(s)\,ds\\ \le(t)\exp\big(-\int_\tau^t(s)\,ds\big)$$ o $$\left(\exp\big(-\int_\tau^t(s)\,ds\big)\int_\tau^t(s)\,y(s)\,ds+ \exp\big(-\int_\tau^t(s)\,ds\big)\right)' \le 0,$$ y la integración en $[\tau,t]$ tenemos $$\exp\big(-\int_\tau^t(s)\,ds\big)\int_\tau^t(s)\,y(s)\,ds+ \exp\big(-\int_\tau^t(s)\,ds\big)\le 1,$$ o $$\int_\tau^t(s)\,y(s)\,ds+ 1\le \exp\big(\int_\tau^t(s)\,ds\big) \qquad\qquad (\estrellas\estrellas\estrella).$$ La combinación de $(\star\star)$ $(\star\star\star)$ obtenemos que $$\|\varPhi(t;\tau)\|=y(t) \le \exp\big(\int_\tau^t(s)\,ds\big)\le \exp\big(\int_\tau^\infty \|A(s)\|\,ds\big),$$ y, por tanto, $\varPhi(t;\tau)$ es uniformemente acotada.