Problemas con ecuaciones ln(ax).

Question

Tras trastear con la función ln(), llegué a un problema.

He descubierto que $a \approx 1.39095$ . Sin embargo, no pude encontrar el valor exacto.

Utilizando la función w de Lambert, ya he encontrado que para P2 (ver imagen) x= $\frac{1}{w\left ( a \right )}$ Y para P3 $$x=\sqrt{\frac{2}{w\left ( \frac{2a^{2}}{e^{2}} \right )}}$$

Sin embargo, a partir de ahí, estoy atascado. No puedo encontrar las soluciones exactas para $x\cdot ln\left (a x \right ) - x = ln \left ( ax \right )$ que me ayudaría mucho. Entonces, ¿cómo continúo desde aquí hasta el final de la pregunta?

Answer 1

Comenta las estimaciones:

Como dices, las aproximaciones son bastante fáciles de conseguir, como demuestra reg@2 :

& es bastante fácil obtener aproximaciones para cualquier proporción $A:B$ sólo a través de la prueba y el error.

Estimaciones para $A:B=1:1\rightarrow 4$ dado por reg@#&/@Range@4 :

aa[a_, x_] := Log[a x]
bb[x_] := 1/x
cc[a_, x_] := x Log[a x] - x
reg[n_] := With[{a = {19.6839, 1.39095, 0.729523, 0.507779}[[n]]}, 
With[{p1234 =Join[
{#, aa[a, #]} & /@ {(x /. NSolve[aa[a, x] == cc[a, x], x, Reals])[[1]]}, 
{#, bb@#} & /@ {(x /. NSolve[aa[a, x] == bb[x], x, Reals])[[1]]}, 
{#, bb@#} & /@ {(x /. NSolve[cc[a, x] == bb[x], x, Reals])[[1]]},
{#, aa[a, #]}&/@ {(x /. NSolve[aa[a, x]==cc[a,x],x,Reals])[[2]]}]},
With[{
r1 = ImplicitRegion[cc[a, x] < y < aa[a, x] && y < bb[x], 
{{x, p1234[[1, 1]], p1234[[3, 1]]}, y}],
r2 = ImplicitRegion[bb@x < y < aa[a, x] && y > cc[a, x], 
{{x, p1234[[2, 1]], p1234[[4, 1]]}, y}]},
Column[
{StringJoin["a = ", ToString[a], "; A:B = 1:", 
ToString[Area@r1/Area@r2], "; p1,p2,p3,p4:"], p1234,
  Show[
  Plot[{aa[a, x], bb@x, cc[a, x]}, {x, 0, 2 n}, 
  Epilog -> {Red, PointSize[Medium], Point[p1234]}], 
    RegionPlot[{r1, r2}], ImageSize -> 400]}]]]]