Polinomio de Hilbert para una variedad proyectiva de dimensión cero tomando una carta afín

Question

Estoy viendo el ejercicio 12.21 de Notas de Gathmann en la geometría algebraica. Me dan un ideal homogéneo $$I \unlhd k[x, y, z] $$ con una dimensión $0$ locus proyectivo. WLOG, suponemos que éste tiene un valor no evanescente $z$ y, por tanto, podemos definir la coordenada ideal $$ J = \left\lbrace f(x, y, 1) : f \in I \right\rbrace \unlhd k[x,y].$$ La tarea consiste en demostrar que $$ \deg I = \chi_{I} = \dim_{k}k[x, y]/J $$ donde $\chi_{I}$ es el polinomio de Hilbert de $I$ . En otras palabras, necesito demostrar que puedo determinar el polinomio de Hilbert de una dimensión $0$ conjunto proyectivo tomando un gráfico afín. Creo que esto no debería ser una pregunta difícil. Cualquier ayuda será apreciada.

Editar. $\deg I$ en este caso es el grado $0$ Polinomio de Hilbert. En otras palabras, es el único número natural $n$ tal que $n=\dim_kk[x,y,z]_d/I_d$ para "casi todos" los valores de $n$ .

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $S=k[x,y,z]$ y que $I$ sea un ideal homogéneo tal que la variedad proyectiva definida por $I$ tiene dimensión $0$ . Entonces $S/I$ tiene la dimensión de Krull $1$ y por tanto su polinomio de Hilbert es una constante, es decir, la función de Hilbert es finalmente una constante. Supongamos que $H_{S/I}(n) = H_{S/I}(n_0), \, \forall n \ge n_0$ . Ahora dejemos que $R = k[x,y]$ y que $J$ sea la deshomogeneización de $I$ con respecto a $z$ es decir, tomar todos los polinomios en $I$ y establecer $z=1$ . Dejemos que $\mathcal{B}$ ser un $k$ -para el espacio vectorial $J_{\le n_0}$ es decir, el espacio vectorial de todos los polinomios en $J$ de grado $\le n_0$ . Entonces $\mathcal{B}^h = \left\{z^{n_0} p(x/z,y/z): \, p \in \mathcal{B} \right\}$ es un $k$ -para el espacio vectorial $I_{n_0}$ es decir, $\dim_k J_{\le n_0} = \dim_k I_{n_0}$ . Desde $\dim_k S_{n_0} = \dim_k R_{\le n_0}$ tenemos $\dim_k (S/I)_{n_0} = \dim_k R_{\le n_0} / J_{\le n_0}$ . De hecho, tenemos que $\dim_k R_{\le n_0} / J_{\le n_0} = \dim_k R_{\le n} / J_{\le n}, \, \forall n \ge n_0$ .

A continuación demostramos que $\dim_k R/J = \dim_k R_{\le n} / J_{\le n}$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . En primer lugar, observe que para cualquier $n$ tenemos un morfismo de $k$ -espacios vectoriales \begin {align} R_{ \le n} \rightarrow \frac {R}{J}, \N-, \N-, \N-, ( \dagger ) \end {align} que toma un elemento $p \in R_{\le n}$ a su clase en $R/J$ . El núcleo de este morfismo es claramente $J_{\le n}$ . En consecuencia, tenemos un monomorfismo \begin {align} \frac {R_{ \le n}}{J_{ \le n}} \hookrightarrow \frac {R}{J}, ( \ddagger ) \end {align} y así $\dim_k R_{\le n} / J_{\le n} \le \dim_k R/J$ . Por otra parte, recordemos que la variedad afín definida por $J$ tiene la misma dimensión que la variedad proyectiva definida por $I$ (este último es el cierre proyectivo del primero), el anillo $R/J$ debe tener dimensión de Krull cero (¿por qué?), y por lo tanto debe ser una dimensión finita $k$ -espacio vectorial. Sea $p_1,\dots,p_s$ sean elementos de $R$ de manera que sus clases en $R/J$ formar un $k$ -base para $R/J$ . Sea $d$ sea el grado máximo entre $\deg(p_1),\dots,\deg(p_s)$ . Entonces, para $n \ge d$ el morfismo $(\dagger)$ se convierte en suryectiva y, por tanto, la incrustación $(\ddagger)$ en realidad se convierte en un isomofismo. Así, \begin {align} H_{S/I}(n_0) = \dim_k R_{ \le \max (n_0,d)} / J_{ \le \max (n_0,d)}= \dim_k R/J. \end {align}