$\int\frac{\sin x}{\sqrt{1-\sin x}}dx=?$ Calcular esta integral

Question

$\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\sqrt{1-\sin x}}dx=?$

Esfuerzo;

$1-\sin x=t^2\Rightarrow \sin x=1-t^2\Rightarrow \cos x=\sqrt{2t^2-t^4}$

$1-\sin x=t^2\Rightarrow-\cos x dx=2tdt\Rightarrow dx=\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$

$\displaystyle\int\frac{1-t^2}{t}\cdot\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt=2\int\frac{1-t^2}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$

$\ = 2\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt-2\displaystyle\int\frac{t}{\sqrt{t^2-2t}}dt$

$\ = 2\displaystyle\int t^{-1}(t^2-2)^{-\frac{1}{2}}dt-2\displaystyle\int t(t^2-2t)^{-\frac{1}{2}}dt$

Pero después de eso no sé cómo continuar.

Answer 1

Mediante el establecimiento $x=\frac{\pi}{2}-t$ el problema se reduce a encontrar: $$ \int \frac{\cos t}{\sqrt{1-\cos t}}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1-2\sin^2\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\,dt $$ donde: $$ \int \frac{1}{\sin\frac{t}{2}}\,dt = C + 2\log\left(\tan\frac{t}{4}\right).$$

Answer 2

Ligeramente diferentes intento de deshacerse de las funciones trigonométricas (suponiendo un dominio donde no hay ningún signo de problemas de causar problemas):

$$\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{1-\sin x}} & \displaystyle = \frac{\sin x\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}\sqrt{1+\sin x}}\\[7 pt] & \displaystyle = \frac{\sin x\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin^2 x}}\\[7 pt] & \displaystyle = \frac{\cos x \sin x\sqrt{1+\sin x}}{\cos^2 x}\\[7 pt] & \displaystyle = \frac{\cos x \sin x\sqrt{1+\sin x}}{1-\sin^2 x} \end{array}$$

Ahora vamos a $t = \sin x$:

$$\int \frac{\sin x}{\sqrt{1-\sin x}} \,\mbox{d}x =\int \frac{\cos x \sin x\sqrt{1+\sin x}}{1-\sin^2 x}\,\mbox{d}x \a \int \frac{t\sqrt{1+t}}{1-t^2} \,\mbox{d}t$$

Esto puede ser racionalizado con $u^2 = 1+t$ get (después de simplificar):

$$\int \left( -2 - \frac{2}{u^2-2} \right) \, \mbox{d}u$$

Esto parece ser una ruta más larga que las sugerencias que se dan en algunas otras respuestas ;o).

Answer 3

SUGERENCIA:

$$\dfrac{\sin x}{\sqrt{1-\sin x}}=-\sqrt{1-\sin x}+\dfrac1{\sqrt{1-\sin x}}$$

$$1-\sin x=1-\cos\left(\dfrac\pi2-x\right)=2\sin^2\left(\dfrac\pi4-\dfrac x2\right)$$

Ahora para el real $a,$ $$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}+a &\mbox{if } a\ge0 \\-a & \mbox{if } a<0 \end{cases}$$

Answer 4

Yo puede ser que falte algo, pero creo que es posible hacerlo con una prolongada de sustitución:

$$ \int \frac{\sin(x)}{\sqrt{1-\sin(x)}} \ dx. $$

Deje $u = 1-\sin(x)$, $$ du = -\cos(x) dx \implies -\sec(x) du = dx.$$

A continuación, llegamos $$ \int (1-u) \frac{1}{\sqrt{u}} (-\sec(x) du).$$

Necesitamos encontrar a $\sec(x)$ en términos de $u$:

$$ u = 1-\sin(x) \\ \sin(x) = 1-u \\ \sin^2(x) = (1-u)^2 \\ 1-\cos^2(x) = 1-2u+u^2 \\ \cos^2(x) = 2u-u^2 \\ \cos(x) = \sqrt{2u-u^2 }\\ \sec(x) = \frac{1}{\sqrt{2u-u^2}} $$

Por lo que la integral se convierte en $$ \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2u-u^2}} \ du \\ =\int \frac{u-1}{\sqrt{u^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2-u}} \ du \\ =\int \frac{u-1}{u} \cdot \frac{1}{\sqrt{2-u}} \ du \\ =\int \frac{1}{\sqrt{2-u}} \ du - \int \frac{1}{u\sqrt{2-u}} \ du $$

El primer término es fácil evaluar: $\int \frac{1}{\sqrt{2-u}} \ du = -2\sqrt{2-u}$.

El segundo término es un poco más complicado, pero con una sustitución de $v = \sqrt{2-u}$ usted encontrará que usted puede utilizar hiperbólicas inversas trigonométricas para obtener $\int \frac{1}{u\sqrt{2-u}} \ du = -\sqrt{2} \tanh^{-1}( \frac{\sqrt{2-u}}{\sqrt{2}})$. Así que en total, tenemos

$$ \int \frac{1}{\sqrt{2-u}} \ du - \int \frac{1}{u\sqrt{2-u}} \ du \\ = -2\sqrt{2-u} - \left( \sqrt{2} \tanh^{-1} \left( \frac{\sqrt{2-u}}{\sqrt{2}}\right) \right) + C \\ = \sqrt{2} \tanh^{-1} \left( \frac{\sqrt{2-u}}{\sqrt{2}} \right) - 2\sqrt{2-u} +C. $$

Y ahora para reemplazar a $u$$1-\sin(x)$, $$\sqrt{2} \tanh^{-1} \left( \frac{\sqrt{2-u}}{\sqrt{2}} \right) - 2\sqrt{2-u} +C \\ =\sqrt{2} \tanh^{-1} \left( \frac{\sqrt{2-(1-\sin(x))}}{\sqrt{2}} \right) - 2\sqrt{2-(1-\sin(x))} +C \\ = \sqrt{2} \tanh^{-1} \left( \frac{\sqrt{\sin(x)+1}}{\sqrt{2}} \right) - 2\sqrt{\sin(x)+1} +C $$