Cuántos términos de la sucesión aritmética -12, -3, 6, ... debe ser añadido a llegar a una suma de 363?

Question

Así que la diferencia común es de +9.

Estoy confundirse cómo utilizar la fórmula para calcular esto. Escribí un programa de C++ para que me ayude a resolverlo así que tengo la respuesta, pero aún me falta saber cómo hacerlo matemáticamente.

La fórmula para hallar el total es:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $

Aquí es lo que puedo conectar en:

$363 = \frac{n}{2}(-12 + a_n)$

pero no puedo resolverlo si no sé lo $a_n$ es igual. Para resolver por $a_n$, yo uso la fórmula.

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

He aquí lo puedo conectar.

$a_n = -12 + (n - 1)9$

Estoy confundido... ¿Cómo puedo solucionar uno si necesito la variable de que el otro me ayuda a resolver usarlo para otra fórmula? Es como una paradoja. Necesito resolver n en la primera ecuación a resolver para $a_n$, pero también necesito $a_n$ a resolver para n.

Answer 1

Sustituir la expresión para $a_n$ en la fórmula de $S_n$:

$$363=\frac n2\big(-12+[-12+(n-1)9]\big)$$

Answer 2

Puede utilizar la fórmula de Gauss. Nos dice que la suma de una progresión aritmética $a_1+a_2+\dots a_n$$\frac{(a_1+a_n)n}{2}$.

En este caso tenemos que la suma de los primeros a $n$ condiciones es $\frac{(-12+(-12+9(n-1)))n}{2}=\frac{(9n-9-24)n}{2}=\frac{(9n-33)n}{2}$. Esto es debido a que el primer término es $-12$ e las $n$'th plazo es $-12+(n-1)9$.

Queremos $\frac{(9n-33)n}{2}=363$$(9n-33)n=726\iff 9n^2-33n-726=0$.

Este cuadrática tiene raíces $\frac{-22}{3}$$11$, lo $11$ es su respuesta.

Answer 3

$S_n={n\over 2}(2a_1+(n-1)d)$

a partir de la pregunta,

$a_1= -12$ (i.e primer término) y la diferencia común $d= (-3)-(-12) = 9$ y como la suma es $363$ ser $S_n$.

$S_n= 363$. Sustituir cada término en la fórmula anterior, $$363= {n\over 2}[2(-12)+(n-1)(9)]$$ $$363= {n\over 2}[-24+9n-9]$$ mediante la resolución de la ecuación de $n= {-22\over 3}$$11$. por lo tanto $n$-ésimo término se $11$. :)