Trigonométricas de cálculo

Question

Mostrar que $$\left(1+4\sin^2\frac{\pi}{18}\right) \left(1+4\sin^2\frac{\pi}{6}\right) \left(1+4\sin^2\frac{5\pi}{18}\right)\left(1+4\sin^2\frac{7\pi}{18}\right)=34.$$

Las ideas acerca de cómo abordar esto?

Answer 1

Lo consiguió!

Considere la posibilidad de $T(x)=256X^4-576X^3+432X^2-120X+9$.

Entonces $\cos^2\frac{\pi}{18}$, $\cos^2\frac{\pi}{6}$, $\cos^2\frac{5\pi}{18}$, $\cos^2\frac{7\pi}{18}$ son sus raíces.

$34$ se encuentra el uso de Viete fórmulas.

$T$ se deriva a partir de la 9-ésimo polinomio de Chebyshev.

Answer 2

El 9 de polinomio de Chebyshev:

$$\cos(9x)=256\cos^9x-576\cos^7x+432\cos^5x-120\cos^3x+9\cos x$$

$$\frac{\cos(9x)}{\cos x}=256\cos^8x-576\cos^6x+432\cos^4x-120\cos^2x+9$$

$$\frac{\cos(9x)}{\cos x}=256(\cos^2x)^4-576(\cos^2x)^3+432\cos^4x-120\cos^2x+9$$

$$256(\cos^2x)^4-576(\cos^2x)^3+432(\cos^2x)^2-120\cos^2x+9=0\implies \cos(9x)=0$$

Entonces:

$$9x=\pi/2,3\pi/2,5\pi/2,7\pi/2\;;x=\pi/18,3\pi/18,5\pi/18,7\pi/18$$

Así que, al menos, $\cos^2\frac{\pi}{18},\cos^2\frac{3\pi}{18},\cos^2\frac{3\pi}{18},\cos^2\frac{7\pi}{18}$ soluciones de:

$$256X^4-576X^3+432X^2-120X+9=0\tag 1$$

Ahora, tenemos $1+4\sin^2x=1+4(1-\cos^2x)=5-4\cos^2x$ Y vamos a ser $X=\cos^2x$ $t=1+4\sin^2x$ $X=(5-t)/4$

$$256\left(\frac{5-t}{4}\right)^4-576\left(\frac{5-t}{4}\right)^3+432\left(\frac{5-t}{4}\right)^2-120\left(\frac{5-t}{4}\right)+9=0$$

O

$$t^4-11t^3+42t^2-65t+34=0\tag 2$$

Para cada una de las $X$ solución de (1) tenemos un $t$ solución de (2). e.g $X=\cos^2(\pi/18)$ solución de (1) hace $t=1+4\sin^2(\pi/18)$ solución de (2)

Ahora, vamos a ser $t_1,t_2,t_3,t_4$ los cuatro diferentes soluciones de (2),$t_1t_2t_3t_4=34$, o

$$\left(1+4\sin^2\frac{\pi}{18}\right) \left(1+4\sin^2\frac{\pi}{6}\right) \left(1+4\sin^2\frac{5\pi}{18}\right)\left(1+4\sin^2\frac{7\pi}{18}\right)=34$$