doble de Z^I para innumerables yo

Question

Deje $I$ ser un conjunto infinito. Hay un homomorphism de abelian grupos $\mathbb{Z}^{(I)} \to \hom(\mathbb{Z}^I,\mathbb{Z})$ que envía la base del elemento $e_i$ a la proyección de $p_i$. Si $I$ es contable, es un famoso resultado de Specker¹ que esta en realidad es un isomorfismo. Pero ¿qué sucede cuando $I$ es incontable?

Claramente es inyectiva. Surjectivity significa que $\phi \in \hom(\mathbb{Z}^I,\mathbb{Z})$ está determinado por los valores de $\phi(e_i)$, y que estos valores vanisch para casi todos los $i$. No puedo copiar la prueba para el caso contables.

¹ Ernst Specker, Aditivo Gruppe von Folgen ganzer Zahlen, Portugaliae de Matemáticas. 9 (1950), 131-140. MR0039719 (12,587 b)

Answer 1

Con respecto a Mariano de la respuesta, creo que algunos de aclaración está en orden. Estrechamente relacionados con la pregunta de Michael Barr y respondidas por el usuario Ralph aquí. En breve, la homomorphism nombre de Martín, la pregunta es, de hecho, un isomorfismo, siempre que $I$ tiene cardinalidad menor que el primer cardinal medible.

Sela y Strüngmann (accesible aquí) se refieren a este resultado, utilizando la misma fuente dada por Ralph, justo antes de la Definición 2.1:

Para generalizaciones a productos de mayor cardinalidades y la consiguiente definición de esbeltez para abelian grupos a los que se refieren a [EM] o [F1]

donde [EM] es el texto por Eklof y Mekler. Parece que Sela y Strüngmann está hablando de algo ligeramente diferente: homomorphisms de libre completa de los productos (pero usando una notación que podría lamentablemente sugieren directa de productos).