Kit de limitación de potencia

Question

De acuerdo a la Potencia de reducción de la fórmula, uno puede intercambiar entre el $\cos(x)^n$ $\cos(nx)$ como la siguiente: $$ \cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \etiqueta{impar}\\ $$ $$ \cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \etiqueta{par} $$ Esto me parece un Binomio de transformación. ¿Es esto cierto?

Puedo pensar en él como un cambio de base de un espacio vectorial?

Answer 1

Sí, es un binomio de expansión:

$$ \begin{eqnarray} \cos^n\theta &=& 2^{-n}\left(\mathrm e^{\mathrm i\theta}+\mathrm e^{-\mathrm i\theta}\right)^n \\ &=& 2^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk\mathrm e^{\mathrm ik\theta}\mathrm e^{-\mathrm i(n-k)\theta} \\ &=& 2^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk\mathrm e^{\mathrm i(2k-n)\theta}\;, \end{eqnarray} $$

y, a continuación, combinar los términos cuyos exponentes se diferencian sólo por un signo (y cuyos coeficientes coinciden) los rendimientos de las fórmulas que se dan. Y sí, usted puede pensar en él como un cambio de base si lo desea, ya que tanto $\cos^n\theta$ $\cos n\theta$ son linealmente independientes conjuntos de funciones; esto es conocido de la transformada de Fourier de la teoría de $\cos n\theta$, y su transformación, que claramente es invertible, muestra que también es cierto para $\cos^n\theta$.

Answer 2

Yo no sé acerca de la binomial a transformar, pero usted puede conseguir a partir de el teorema del binomio después de escribir $\cos \theta = (e^{i\theta} + e^{-i\theta})/2$.

Sí, en el espacio vectorial de las funciones se extendió por $\cos^j (\theta)$ para los números enteros no negativos $j$ indica cómo transformar a la base $\cos(j \theta)$.