Cómo evaluar $\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^4-2x^2-1}dx$ ?

Question

Quería calcular $\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^4-2x^2-1}dx$ Wolfram Alpha me dio : $$\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^4-2x^2-1}dx=\frac{1}{\sqrt{2e}}K_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{2}\right)$$ Dónde $K_{\frac{1}{4}}(z)$ es la función de Bessel modificada del segundo tipo que satisface la ecuación diferencial $$z^2y''+zy'-\left(z^2+\frac{1}{16}\right)y=0$$ y algunas condiciones iniciales.

Mi pregunta es: ¿cómo se relacionan la primera integral y la función de Bessel? Supongamos que no tengo WolframAlpha, ¿cómo sé que tengo que utilizar las funciones de Bessel?

Answer 1

Como se ha mencionado en un comentario, se puede partir de una de las diversas formas integrales de las funciones de Bessel modificadas del segundo tipo. En el presente caso para cada $x\gt0$ , $$K_n(x)=\int_0^\infty\cosh(nt)\mathrm e^{-x\cosh t}\mathrm dt,$$ en particular, $$K_{1/4}(1/2)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\cosh(t/4)\mathrm e^{-\cosh(t)/2}\mathrm dt.$$ El cambio de variable $$x=\sqrt2\sinh(t/4)$$ produce $\mathrm dx=\sqrt2\cosh(t/4)\mathrm dt/4$ y $x^2+1=2\sinh^2(t/4)+1=\cosh(t/2)$ Por lo tanto $$\cosh(t)=2\cosh^2(t/2)-1=2(x^2+1)^2-1,$$ que muestra que $$K_{1/4}(1/2)=\sqrt2\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-(x^2+1)^2+1/2}\mathrm dx=\sqrt{2\mathrm e}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-(x^2+1)^2}\mathrm dx.$$ Finalmente, $$\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^4-2x^2-1}\mathrm dx=\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-(x^2+1)^2}\mathrm dx=\frac{K_{1/4}(1/2)}{\sqrt{2\mathrm e}}.$$ De forma más general, para cada positivo $(a,b)$ , $$\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-ax^4-2bx^2}\mathrm dx=\sqrt{\frac{b}{2a}}\mathrm e^{b^2/a}\mathrm e^{-a/2}K_{1/4}(a/2).$$