¿Por qué el rango del grupo de Picard de una superficie K3 está limitado arriba por 22?

Question

Entiendo que, a lo largo de $\mathbb{C}$ el rango del grupo de Picard de una superficie K3 $X$ está limitada por encima por $20$ porque podemos usar la secuencia exponencial de la gavilla: $0 \to 2\pi i \mathbb{Z} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X^\times \to 0$ , y porque $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ es trivial esto da un homomorfismo inyectivo $H^1(X,\mathcal{O}_X^\times) \to H^2(X,\mathbb{Z})$ y $H^2(X,\mathbb{Z})$ tiene rango $22$ . Entonces, por el Teorema de Lefschetz sobre $(1,1)$ -en realidad se integra en $H^{1,1}(X)$ que tiene rango $20$ (todo ello se deduce directamente de la definición de superficie K3).

Sé que sobre campos finitos por ejemplo no tenemos tales argumentos, y el rango puede ser $22$ .

Preguntas: ¿Cuál es la forma adecuada de exponer este argumento en términos generales, es decir, sin asumir nada sobre el campo base? Presumiblemente esto implicaría hablar de ciclos algebraicos. Además, ¿por qué el rango no puede ser $21$ ?

Answer 1

Consideraré $X$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y que $\ell$ sea primo de la característica de $k$ . La secuencia de Kummer $$1 \to \mu_{\ell^n} \to \mathcal O_X^{\times} \buildrel \ell^n \over \to \mathcal O_X^{\times} \to 1$$ en el sitio etale de $X$ induce $$Pic(X)/\ell^n \to H^2(X,\mu_{\ell^n}).$$ Pasando al límite inverso sobre $n$ administra una inyección $$\bigl((Pic(X)/Pic^0(X)\bigr) \otimes_{\mathbf Z}\mathbb Z_{\ell} \hookrightarrow H^2(X,\mathbb Z_{\ell})(1).$$ (Aquí $Pic^0(X)$ denota la parte conexa de $Pic(X)$ --- que es trivial en el caso de un $K3$ aunque no lo necesitamos, y $(1)$ denota una torsión de Tate, lo que es importante si $X$ se cambia de base desde un subcampo y se quieren considerar las acciones de Galois, pero no en otro caso).

Por tanto, el límite del rango de Picard de $X$ es decir, en el rango de $Pic(X)/Pic^0(X)$ proviene del conocimiento de la dimensión de la cohomología etale $H^2(X,\mathbb Z_{\ell}).$ Esto tiene dimensión 22 en el caso de un K3, por lo tanto el límite deseado (para cualquier campo $k$ ). No se puede conseguir un límite mejor sin argumentos teóricos de Hodge, que no están disponibles en la característica $p$ .

Es útil considerar la situación con $K3$ s, y la diferencia entre el char. $0$ y char. $p$ situaciones, por analogía con el caso de los endomorfismos de curvas elípticas. En efecto, el mismo argumento anterior, aplicado con $X$ tomado como producto de una curva elíptica $E$ sobre sí mismo, demostrará que el rango de Picard de $E\times E$ es como máximo $6$ , y, por tanto, que el rango de $End(E)$ es como máximo $4$ --- los divisores en $E\times E$ módulo de equivalencia algebraica proceden de $E\times O$ y $O\times E$ que siempre aportan un rango de $2$ y luego a partir de los grafos de endomorfismos, que dan el rango restante, que por tanto es como máximo $4$ . Si $E$ es supersingular en la característica $p$ entonces, de hecho $End(E)$ es de rango $4$ . Por otra parte, en la característica $0$ argumentos teóricos de Hodge (o argumentos con la representación $E = \mathbb C/\Lambda$ que son análogos concretos de los argumentos teóricos de Hodge) muestran que el rango de Picard de $E\times E$ está limitada por $4$ y, por tanto, que el rango de $End(E)$ es como máximo $2$ .