Puede la dimensión fractal de la superficie sea inferior a 2?

Question

Tengo dos superficies representadas como imágenes ráster con alturas como valores de escala de grises. Uno es el paisaje natural elevaciones; el otro es la distancia de la línea.

He calculado Minkowsky D = 2 - H, donde, para el área de superficie y Un tamaño de celda s en el nivel de agregación k:

$$ A_k = s_k^{-H} \quad \mathrm{rewritten} \quad \log A_k = -H \log s_k$$

y H es encontrado por regresión lineal.

D para la elevación de la superficie es de 2.31, pero D por la distancia de la superficie sale como 1.81. ¿Esto indica un error en la computación? una mala elección de la fórmula de la dimensión? ¿Hay algún significado asociado con un simple superficie 2D tener una dimensión fractal menos de 2?

fragmento de código

Answer 1

Un localmente Lipschitz mapa no se puede aumentar la dimensión de Hausdorff. En particular, afín a las proyecciones son de Lipschitz mapas. Así que si su superficie $S$ se encuentra sobre un conjunto abierto no vacío $U$ $xy$ avión, en el que la imagen de $S$ bajo la proyección $(x,y,z) \to (x,y)$ contiene $U$, entonces la dimensión de Hausdorff de $S$ debe ser de al menos la dimensión de Hausdorff de $U$, es decir,$2$.