Probando $\frac{\ln (x+1)}{x}=\arctan x$ tiene exactamente una solución positiva

Question

Quiero demostrar que

$$\frac{\ln (x+1)}{x}=\arctan x$$

tiene exactamente una solución positiva.

Mi enfoque : Dejemos que $f(x):=\frac{\ln (x+1)}{x}-\arctan x$ . Es fácil demostrar que $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1$ y $\lim \limits_{x\to\infty}f(x)=-\pi/2$ . Entonces existe $\delta_1>0$ tal que $f(\frac{\delta_1}{2})>0$ y $\delta_2>\delta_1>0$ tal que $f(\delta_2+1)<0$ . Porque $f$ es continua en $[\delta_1,\delta_2+1]\subset(0,\infty)$ por el teorema del valor intermedio obtenemos $c>0$ tal que $f(c)=0$ . Para demostrar la unicidad de tal $c$ , obsérvese que la derivada $$f'(x)=\frac{x-(x+1)\ln(x+1)}{x^2 (x+1)}-\frac{1}{1+x^2}$$ es negativo para todos los $x>0$ . Eso es porque $g(x):=x-(x+1)\ln(x+1)<0$ para todos $x>0$ . Prueba: $g'(x)=1-\left(\ln (x+1)+(x+1)\frac{1}{(x+1)}\right)=-\ln(x+1)$ . Así, $g'(x)<0$ para todos $x>0$ y $g$ es decreciente. Y porque $g(0)=0$ concluimos que $g(x)<0$ para todos $x>0$ . Porque $f'(x)<0$ para todos $x>0$ , $f$ es decreciente y para todo $x\neq c,x>0$ obtenemos $f(x)\neq0$ .

¿Es correcto? Y si es así, ¿hay una forma más elegante de demostrarlo?

Answer 1

Otro enfoque. Podemos buscar las raíces positivas de $$ g(x) = \log(x+1)- x\arctan x.$$ Es trivial que $g(0)=0$ y $\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$ . Además, $$ g''(x) = -\frac{(x^2+1)(x^2+3)+4x}{(x+1)^2(1+x^2)^2} $$ da que $g(x)$ es una función cóncava sobre $\mathbb{R}^+$ . $g(x)$ es en algún lugar positivo, ya que $g'(0)=1$ por lo que se deduce que $g(x)$ tiene una única raíz positiva.

Answer 2

Su planteamiento es cierto, pero creo que siempre ve una imagen ¡es algo bueno y ayuda mucho! Así que tenemos otra prueba:
$f(x)= \frac {\ln(x+1)}{x}$ es una función absolutamente decreciente y $g(x)=\arctan(x)$ es una función absolutamente creciente.
Ahora, porque $f(0)>g(0)$ y $\lim_{x \to \infty} (g(x)-f(x))= \frac{\pi}{2} >0$ entonces $f$ se encuentra con $g$ en un momento dado.