Calcular 6j-símbolos (aka Racah-Wigner coeficientes) para los grupos cuánticos

Question

Que $6j$-símbolos para cuantifica envolvente álgebras son conocidos de forma explícita?

El quantum $6j$-símbolos para $sl(2)$ son bien conocidos. Las referencias son Masbaum y Vogel y Frenkel y Khovanov.

Lo que es conocido para otros simple álgebras de Lie?

En caso de que esto parece algo vago aquí es una pregunta precisa. Los datos de un $6j$-símbolo comienza con un tetraédrica gráfico con los bordes marcados por los más altos pesos. A continuación, por lo general hay información adicional necesaria en los vértices que quiero evitar. Tomemos el ejemplo de $sl(n)$ y el uso de las particiones en lugar de más alto pesos. La etiqueta de los dos bordes opuestos por una partición de la forma $1^k$ (correspondiente a una potencia exterior de la representación vectorial) y la etiqueta de los otros cuatro bordes por las particiones. A continuación, se asocia a este tipo de datos es un escalar.

Entonces yo esperaría que esta función esté determinado por lineal de relaciones de recurrencia (es decir, D-finito o holonomic). Es esto correcto? y si es así puedes dar de relaciones de recurrencia?

Lo ideal sería también el $n$ como indeterminado.

De fondo , En general, $6j$- símbolos surgir por cualquier semisimple abelian categoría que también es monoidal. Ellos son los componentes de la transformación natural $(\otimes)(\otimes \times 1)\cong (\otimes)(1\times \otimes)$.

En más a la tierra de los términos. Si usted sabe que el anillo de Grothendieck de un semisimple abelian categoría monoidal y se intenta la construcción de este, a continuación, la información que te falta es el $6j$-símbolos. Usted puede construir la abelian categoría y puedes construir el producto tensor functor pero usted no tiene el asociador.

Por ejemplo es bien sabido que la tabla de caracteres de un grupo finito no determina el grupo. No determinar la categoría de representaciones como un semisimple abelian categoría. El $6j$-los símbolos son necesarios para hacer de esta una categoría monoidal.

Para una mayor discusión, ver:
Tabla de caracteres no determina grupo Vs Tannaka la dualidad

Answer 1

También podemos utilizar las particiones ($k$) (simétrica poderes) en lugar de ($1^k$) sobre uno o dos de los bordes. Esto todavía da la escalares, sino que incluye la historia completa de sl(2).

Este problema parece ser equivalente al problema de calcular el operador de intercambio en el producto tensor de dos (quantum) simétrica o exterior de los poderes de la representación vectorial de la cuántica sl(n), por ejemplo,$S^kV\otimes S^mV$, en el estándar de la base de la simétrica (resp., exterior) poderes (sobre los operadores de intercambio ver mi papel con Varchenko arXiv:matemáticas/9801135 y mi ICM hablar arXiv:matemáticas/0207008). Esto puede calcularse si se conoce la fusión del operador para estas representaciones, que puede ser calculada de manera eficiente el uso de la ABRR (Arnaudon-Buffenoir-Ragoucy-Roche) la ecuación, ver, por ejemplo, el apéndice a arXiv:matemáticas/9801135. No estoy seguro de si la respuesta es totalmente trabajado a cabo en cualquier lugar, pero hay al menos algunas respuestas. Por ejemplo, vea el documento arXiv:q-alg/9704005 donde algo se hace, incluso en la elíptica de configuración (que se refiere a elíptica 6j símbolos de Frenkel-Turaev). Lo que hacen es calcular los elementos de la matriz de $m=1$, pero en general, la $m$ puede ser obtenido mediante el procedimiento de fusión. Esto debe ser realmente un buen cálculo con una buena respuesta del tipo que usted está esperando. En particular, en especial el caso de que usted obtenga los coeficientes de Macdonald diferencia de los operadores adheridos a simétrica poderes. En el exterior poderes caso (o un producto de una simétrica y una potencia exterior), la respuesta será más simple, ya que $k$ no puede crecer más, $n$ (en este caso tal vez debería obtener un producto puro, y debe estar completamente cubierto en el documento mencionado).

EDIT: la Observación. Deje $V,W$ ser representaciones de la cuántica grupo con 1-dimensional cero peso espacios. A continuación, una base natural en ${\rm Hom}(L_\lambda, (V\otimes L_\mu)\otimes W)$ es la composición de los intertwiners en un orden, mientras que una base natural de la ${\rm Hom}(L_\lambda, V\otimes (L_\mu\otimes W))$ es la composición de intertwiners en el otro orden. Por lo tanto, la 6j-símbolo de la matriz (que es, por definición, la matriz de transición entre estas dos bases) es el operador de intercambio para intertwiners.