Suprayectividad de mapa lineal entre "ingenuo" y "abstractas" espacios tangentes de Zariski

Question

Sé que esto es probablemente un problema simple, pero me han llegado a mí atascado tratando de demostrar este hecho a mí mismo. Estaría muy agradecido si alguien pudiera aclarar esto para mí.

Deje $V$ ser afín variedad en $\mathbb{A}^n$ (es decir, más de un algebraicamente cerrado campo de $K$) y supongamos $P = (0,\dots, 0)\in V$ es el origen de espacio afín. Estoy tratando de demostrar que hay un isomorfismo entre el "resumen" Zariski el espacio de la tangente $T_P (V) = (\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^*$ y el "ingenuo" espacio vectorial

$$W = \left\{(\alpha_1, \dots, \alpha_n): \sum_{i=1}^n \alpha_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (P)=0, \quad \forall f\in I(V)\right\}$$

He mostrado que hay una inyección de $\phi: W\to T_P (V)$ como sigue: $Q = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)\in W$ obtenemos un funcional lineal $\phi_Q : \mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 \to K$ a través de

$$\phi(Q) = \phi_Q = \sum_{i=1}^n \alpha_i \frac{\partial}{\partial x_i}\lvert_P$$

que corresponde a tomar un "ponderado total derivado" de una clase de equivalencia de una función de $r\in \mathfrak{m}_P$ modulo $\mathfrak{m}_P^2$ es decir

$$\phi_Q (\bar{r}) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \frac{\partial r}{\partial x_i} (P)$$

donde $\bar{r}$ denota la imagen de $r$ en el cociente. Este es de hecho un funcional lineal en $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$. Además, la asignación de $\phi$ es un inyectiva $K$-lineal mapa de $W\to T_P (V)$. Lo que estoy luchando por hacer es mostrar surjectivity de este mapa. Cada elemento de a $g\in T_P (V)$ puede ser escrito como

$$ g = \sum_{i=1}^n \alpha_i g_i$$

donde $g_i (\bar{x_j}) = \delta_{i j}$ es uno de los dos vectores de la base. Lo que no está claro para mí es que los coeficientes $\alpha_i$ algunas $Q = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)\in W$ es decir, que

$$\sum_{i=1}^n g(\bar{x_i}) \frac{\partial f}{\partial x_i} (P) = 0, \quad \forall f\in I(V)$$

¿Alguien puede explicar por qué este mapa es surjective?

Edit: me erróneamente se olvidó de incluir la condición de que la combinación lineal de las sumas a cero en la definición de los "ingenuos" el espacio de la tangente en el post original, lo que causó un poco de confusión. Este ha sido modificado anteriormente.

Answer 1

El inverso de morfismos $\psi=\phi^{-1}:(\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 )^*\to W$ se define como sigue.

Dado un $K$-lineal mapa de $t: \mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 \to K$ definimos $\psi(t)= (t(x_1),...,t(x_n))\in W$
Pero, ¿por qué es que el vector $(t(x_1),...,t(x_n))$$W$?
Tenemos que comprobar que para $f\in I(V)$ tenemos $\sum_{i=1}^n t(x_i) \frac{\partial f}{\partial X_i} (P)=0$
Esto es cierto: escribir $$f= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_i} (P).X_i+q$$ where $q$ es un polinomio sin constante ni lineal plazo.
Desde $f$ se convierte en cero, ya en $\mathcal O(V)$, tenemos a fortiori $f=0\in \mathfrak m_P$ y obtenemos mediante la aplicación de la $K$-lineal mapa de $t$ a $f$: $$0=t(f)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_i} (P).t(x_i) +t(q) $$ However $q\in \mathfrak m^2_P$ forces $t(q)=0$ so that we obtain our crucial relation $\sum_{i=1}^n t(x_i) \frac{\partial f}{\partial X_i} (P)=0$.