Sabemos que $A^{23} = 0$. ¿Cuáles son los autovalores de a $A$?

Question

Deje $A$ $n \times n$ matriz. Sabemos que $A^{23} = 0$. ¿Cuáles son los autovalores de a $A$?

Creo que es $0$, pero no estoy seguro. Cómo debo hacer con este problema?

Answer 1

Deje $\lambda \in \mathbb{R}$ ser un autovalor de a $A$. Deje $x \in \mathbb{R}^n$ correspondiente autovector. Entonces $$Ax = \lambda x \quad \Rightarrow \quad \lambda^{23}x = A^{23}x = 0x = 0.$$ Desde $x \neq 0$, $\lambda^{23} = 0$ y por lo tanto $\lambda = 0$.

Answer 2

No hace falta decir que $n\ge 23$, de modo que $A$ es nilpotent de la matriz. ¿Qué acerca de los valores propios de una nilpotent de la matriz?

Answer 3

el polinomio de fuga en Un sólo tiene una raíz , que es $0$ que también es el autovalor de a $A$ hay también un conocido resultado diciendo que si a es nipotent ovec un algebric campo cerrado su único autovalor es $0$

Answer 4

Pedantically hablando, $0$ es un autovalor sólo si $n>0$ (desde el $0\times 0$ matriz no tiene autovalores). Pero definitivamente hay ningún otro autovalores de a $0$, ya que si $P$ está aniquilando cualquier polinomio (aquí $P=X^{23}$), cualquier autovalores debe ser una raíz de$~P$ (desde $P[A]$ actúa en un espacio propio para$~\lambda$ por el escalar $P[\lambda]$).