De primer orden y deformaciones infinitesimales

Question

La terminología. Deje $X$ ser una expresión algebraica variedad, más algunos algebraicamente cerrado campo de $k$. Por un infinitesimal de la deformación de $X$, me refiero a un plano surjective mapa de $\mathfrak X\to S=\textrm{Spec }A$ donde $A$ es un local de Artin $k$-álgebra, de tal manera que $X$ es isomorfo a lo cerrado de la fibra de este mapa. Un isomorfismo de deformaciones es una $S$-isomorfismo entre el total de los espacios, compatible con las inclusiones de $X$ dentro de ellos. Por un trivial de deformación, me refiero a una deformación que es isomorfo al producto de la deformación de $X\times \textrm{Spec }A\to \textrm{Spec }A$.

Una variedad algebraica $X$ dijo ser rígido si no tiene no trivial de deformaciones infinitesimales. Uno puede mostrar que si $X$ es nonsingular, entonces es rígida y sólo si $H^1(X,T_X)=0$ donde $T_X$ es tha tangente paquete.

Pero $H^1(X,T_X)$ parametriza, para cualquier nonsingular $X$, isomorfismo clases de primer orden de las deformaciones de la $X$: esas deformaciones, definida sobre el doble de los números de $D=k[t]/t^2$.

Así que, a posteriori, debe haber algo especial en nonsingular variedades: si no tienen no trivial de primer orden deformaciones, que no tienen deformaciones infinitesimales.

Pregunta: ¿me puedes mostrar un ejemplo de un (necesariamente singular) variedad no trivial de deformación sobre $D$, pero con un trivial de deformación respecto a otros locales Artin anillo de $A$?

Gracias!

Answer 1

Esta es una pregunta interesante! Aquí está mi opinión sobre ella.

El nonsingularity hipótesis es una simplificación más que una verdadera necesidad. Si $X$ es nonsingular, a continuación, todos de primer orden de la familia es localmente trivial, por lo tanto, por el Kodaira-la chaqueta de punto de equivalencia en el conjunto de todos los de primer orden de las familias para $X$ es parametrizadas por $H^1(X, \mathscr T_X)$. Por otra parte, la obstrucción de cálculo se simplifica, ya que el conjunto de (pequeñas) las elevaciones de una familia para $X$ tiene un transitiva $H^1(X,\mathscr T_X)$-acción, que Sernesi aprovecha para demostrar este teorema.

En el caso general, no todos los de primer orden de las familias para $X$ son localmente trivial, y esto se ve reflejado en la comparación siguiente secuencia: $$0\to H^1(X,\mathscr T_X)\to \mathsf D_X(D)\to H^0(X,\mathscr T^1_X)\to H^2(X,\mathscr T_X)$$ donde he denota el conjunto de todos los de primer orden de las familias para$X$$\mathsf D_X(D)$. De hecho, Hartshorne la "Deformación de la Teoría", se extiende la presente comparación de la secuencia a la secuencia siguiente, para cualquier local artinian anillo de $R$, útiles para este levantamiento problema (Thm 10.2(b)): $$0\to H^1(X,\mathscr T_X)\to \mathsf E(\mathcal X/R)\to H^0(X,\mathscr T^1_X)\to H^2(X,\mathscr T_X)$$ donde $\mathsf E(\mathcal X/R)$ es el conjunto de las elevaciones de una familia escogida $\mathcal X\to\operatorname{Spec}(R)$ $X$ (en realidad, su versión es ligeramente más general de lo que esta). Desde $\mathscr T^1_X$ se apoya en la singular, el locus de $X$, el nonsingularity hipótesis anterior simplemente se asegura de que $\mathscr T^1_X = 0$, por lo que el $H^1(X,\mathscr T_X) = \mathsf E(\mathcal X/R)$. Por lo tanto, $X$ es rígido iff $H^1(X,\mathscr T_X)=0$ ya que todos los envíos son triviales, que es lo que Sernesi de la prueba se reduce a. Sin embargo, en el caso general, el teorema es algo como lo siguiente:

$X$ es rígido iff $H^1(X,\mathscr T_X)=0$ y la obstrucción de mapa de $H^0(X,\mathscr T^1_X)\to H^2(X,\mathscr T_X)$ es inyectiva.

Ahora, para responder a su pregunta. Supongamos que $X$ no tiene no trivial de la familia sobre $D$. Esto significa que $\mathsf D_X(D)=0$. Por el primer orden de la comparación de la secuencia, esto dice exactamente eso $H^1(X,\mathscr T_X) = 0$ $H^0(X,\mathscr T^1_X)\to H^2(X,\mathscr T_X)$ es inyectiva, por lo que nunca hay un no trivial de elevación de cualquier familia para $X$ sobre cualquier artinian anillo local. Por lo tanto, $X$ es rígido.