Convergencia de $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{p_{k^2}}$ , donde $p_k$ es el $k$ el primero

Question

Dos breves preguntas. Esto parece cierto pero no lo encuentro usando Google. (1) ¿No es

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{p(k^2)}$$ en el que $p(k^2)$ es el $k^2$ el primero,

¿se sabe que convergen? Esperaba encontrar algo en Plouffe alrededor de 0,747187, pero no fue así.

Parece que $p(k^2) > k^2$ demuestra la convergencia, pero entonces ¿he calculado mal la constante?

Se me ocurrió que podríamos utilizar la comparación (a través de la PNT) para una serie, pero todo lo que sabemos es que termalmente $$\frac{1}{p(k^2)}\sim \frac{1}{k^2\ln k^2},$$ y No creo que $a\sim b$ y $c \sim d$ da $a+c \sim b+d$ ? Entonces, (2) ¿es correcto que la suma logarítmica también converge pero no da ninguna pista sobre la convergencia de la suma en cuestión?

Answer 1

Me parece que la mayoría de las cuestiones se han resuelto en los comentarios. Intentaré ponerlo todo en común.

Sí, la serie converge, simplemente por comparación con $\sum k^{-2}$ .

No, no has calculado mal la constante. Bueno, no puedo demostrarlo, pero J. M. corrobora tu cálculo, y eso me vale.

No, la constante no parece aparecer en ninguna parte. En cuanto a la razón, sólo puedo especular que nadie encuentra la secuencia El primer primo, el cuarto primo, el noveno primo, el decimosexto primo, etc., son especialmente interesantes, por lo que nadie se ha visto motivado a realizar ningún cálculo relacionado con ellos. De hecho, no nos ha dado ninguna razón para interesarnos por ella, ninguna conexión con ninguna otra parte de las matemáticas.

Sí, $\sum(k^2\log(k^2))^{-1}$ converge, y su convergencia se puede utilizar para demostrar que su suma converge, y probablemente se puede utilizar para dar algún límite en su suma. Ciertamente no te ayudará a encontrar el valor exacto de tu suma.

¿Me he dejado algo?

Answer 2

He arreglado tu código. El principal problema es tu definición de las funciones hinge y d_hinge. Éstas deberían aplicarse una muestra a la vez. En cambio, tu definición agrega todas las muestras antes de tomar el máximo.

#Run standard gradient descent
gradient_descent<-function(fw, dfw, n, lr=0.01)
{
    #Date to be used
    x<-t(matrix(c(1,3,6,1,4,2,1,5,4,1,6,1), nrow=3))
    y<-t(t(c(1,1,-1,-1)))
    w<-matrix(0, nrow=ncol(x))

    print(sprintf("loss: %f,x.w: %s",sum(mapply(function(xr,yr) fw(w,xr,yr), split(x,row(x)),split(y,row(y)))),paste(x%*%w, collapse=',')))
    #update the weights 'n' times
    for (i in 1:n)
    {
      w<-w-lr*dfw(w,x,y)
      print(sprintf("loss: %f,x.w: %s",sum(mapply(function(xr,yr) fw(w,xr,yr), split(x,row(x)),split(y,row(y)))),paste(x%*%w,collapse=',')))
    }
}

#Hinge loss
hinge<-function(w,xr,yr) max(1-yr*xr%*%w, 0)
d_hinge<-function(w,x,y){ dw<- apply(mapply(function(xr,yr) -yr * xr * (yr * xr %*% w < 1),split(x,row(x)),split(y,row(y))),1,sum); dw}
gradient_descent(hinge, d_hinge, 100, lr=0.01)

Necesito n=10000 para converger.

[1] "pérdida: 0.090000,x.w: 1.08999999999995,0.909999999999905,-1.19000000000008,-1.69000000000011" [1] "pérdida: 0.100000,x.w: 1.33999999999995,1.1199999999999,-0.900000000000075,-1.42000000000011" [1] "pérdida: 0,230000,x.w: 0.939999999999948,0.829999999999905,-1.32000000000007,-1.77000000000011" [1] "pérdida: 0,370000,x.w: 1.64999999999995,1.2899999999999,-0.630000000000075,-1.25000000000011" [1] "pérdida: 0.000000,x.w: 1.24999999999995,0.999999999999905,-1.05000000000008,-1.60000000000011" [1] "pérdida: 0.240000,x.w: 1.49999999999995,1.2099999999999,-0.760000000000075,-1.33000000000011" [1] "pérdida: 0.080000,x.w: 1.09999999999995,0.919999999999905,-1.18000000000007,-1.68000000000011" [1] "pérdida: 0.110000,x.w: 1.34999999999995,1.1299999999999,-0.890000000000075,-1.41000000000011" [1] "pérdida: 0,210000,x.w: 0.949999999999948,0.839999999999905,-1.31000000000007,-1.76000000000011" [1] "pérdida: 0,380000,x.w: 1.65999999999995,1.2999999999999,-0.620000000000074,-1.24000000000011" [1] "pérdida: 0.000000,x.w: 1.25999999999995,1.0099999999999,-1.04000000000008,-1.59000000000011" [1] "pérdida: 0.000000,x.w: 1.25999999999995,1.0099999999999,-1.04000000000008,-1.59000000000011"