Qué $\sum_1^\infty \frac{n}{n^2 + 4}$ convergen o divergen? Es mi solución correcta?

Question

Qué $\sum_1^\infty \frac{n}{n^2 + 4}$ convergen o divergen?

Estoy confundido porque mi amigo insiste en que la serie converge condicionalmente. Creo que la serie diverge. Aquí está mi proceso y de la solución:

$\sum_1^\infty \frac{n}{n^2 + 4}$

Límite De La Prueba De Comparación:

Deje $\sum_1^\infty \frac{n}{n^2 + 4} = \sum_1^\infty a_n$

Deje $\sum_1^\infty b_n = \sum_1^\infty \frac{1}{n}$

Desde $$\lim \limits_{n \to \infty} | \frac{a_n}{b_n}| = \lim \limits_{n \to \infty} | \frac{\frac{n}{n^2 + 4}}{\frac{1}{n}}| = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 4} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2(1 + \frac{4}{n^2})} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{4}{n^2}} = 1$$

y $1 > 0$ $1$ es un número finito,

podemos decir que el comportamiento de las $\sum_1^\infty a_n$ es el mismo que el comportamiento de $\sum_1^\infty b_n$.

Desde $\sum_1^\infty b_n$ diverge ( $\sum_1^\infty \frac{1}{n}$ diverge por la serie p, $p=1$), $\sum_1^\infty a_n$ diverge.

Así que por el Límite de la Prueba de Comparación, $\sum_1^\infty \frac{n}{n^2 + 4}$ diverge.

A la derecha?

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Además, este problema fue un ejercicio en la Relación Raíz/sección de Prueba. Ambas pruebas, sin embargo, parecen fallar. Puede la convergencia de resolverse con la Raíz de la Prueba o la Prueba de razón?

Answer 1

La comparación directa es un poco más fácil aquí: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+4} \geq \sum_{n=2}^\infty \frac{n}{n^2+4} \geq \sum_{n=2}^\infty \frac{n}{n^2+n^2} = \frac{1}{2}\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n} = \infty$$

Answer 2

Escribir $\frac{n}{n^2 + 4} = \frac1{n + \frac{4}{n}}$. Tenga en cuenta que $n + \frac{4}{n} \le n + 4$. El uso de la prueba de comparación.

Answer 3

Desde su $a_n \geqslant \frac {1} {2n}$, excepto en $n = 1$ $\sum \frac {1} {2n}$ diverge, se establece que el $\sum a_n$ diverge.