Dado $$x_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{n^2+n}$$
Verifique si hay o no un límite. Encuéntralo si es afirmativo.
Dejemos que $a_n=\frac{n}{n^2+1}$ (La mayor parte de la suma $n$ veces) y $b_n=\frac{n}{n^2+n}$ (la parte más pequeña de la suma $n$ veces) entonces $$b_n\le x_n \le a_n$$ desde $$\lim \frac{n}{n^2+1}=\lim \frac{n}{n^2+n}=0,$$ tenemos que $$\lim x_n=0.$$
¿Esto está mal? ¿Por qué? Si lo es, algún consejo sobre cómo encontrar $\lim x_n$ ? Agradezco cualquier ayuda.
**Editado
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Esto es correcto: el límite es efectivamente $0$ .
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$b_n \leq x_n \leq a_n$
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Básicamente tienes razón, aunque has intercambiado los límites superior e inferior. Pero el límite inferior puede tomarse simplemente como $0$ , como $x_n\geq 0$ para todos $n$ (suma de términos no negativos) $$ 0\leq x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2+k} \leq n\cdot \frac{1}{n^2+1} = \frac{1}{n+\frac{1}{n}}\leq \frac{1}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0 $$ se puede concluir por el Teorema del Apretón.
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¡Oh, gracias! Lo tengo. He editado el post para corregir el " $a_n\le x_n \le b_n$ " error
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@ClementC. Tu resultado es bastante limpio. Puedes publicarlo como respuesta.
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El aceptado es similar... Si no hubiera estado, seguro, pero como está, probablemente no valga la pena. @FelixMarin
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Véase también: Encuentre $\lim_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+...+\frac{1}{n^2+n}\right)$