¿Cómo puedo dar una prueba de la siguiente desigualdad? $$\displaystyle L=1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\sqrt[4]{\frac{1}{4}}+...}}$$ $$L\le\sqrt[3]{4\pi}$$ Los cálculos numéricos sugieren que es verdad, pero es posible dar una analítica de la evidencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primera nota de que la raíz anidados $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}$ converge a $\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ (ver (*) a continuación).
Para obtener la propuesta de la desigualdad, nos crudamente estimación:
$$ \begin{align} L &= 1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\sqrt[4]{\frac{1}{4}+\cdots}}}\le1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\sqrt[4]{1+\sqrt[5]{1+\cdots}}}}\\ &\le1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}=1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}<2.323<\sqrt[3]{4\pi}. \end{align} $$
Mejor estimaciones pueden ser obtenidas mediante la introducción de la $1$s una posición posterior. No sé de donde la expresión $\sqrt[3]{4\pi}\approx 2.3249$ viene de pero si somos capaces de producir mejores estimaciones tan simple como eso, me parece que no es importante de todos modos.
Nota:
(*) El valor puede ser determinado utilizando la relación de recurrencia $x_{n+1}=\sqrt{1+x_n}$.
