Hay un montón de métricas.
Sólo tienes que elegir tu espacio métrico favorito $X$ de cardinalidad $2^{\frak c}$ y dar $2^\mathbb R$ la métrica heredada de tu bijección favorita $X \to 2^\mathbb R$ .
Un problema de este enfoque es el subconjunto $\mathbf R =\{\{x\} : x \in \mathbb R\}$ puede no ser homeomorfo a $\mathbb R$ -- que le permite imaginar $\mathbb R$ sentado dentro del espacio $2^\mathbb R$ . Por ejemplo, si el espacio mayor es discreto, también lo es el espacio menor.
De acuerdo, exigiremos $\mathbf R \cong \mathbb R$ ¿pero ahora qué?
Sólo tienes que elegir tu espacio métrico favorito $X$ de cardinalidad $2^{\frak c}$ y la biyección $X \to (2^ \mathbb R - \mathbf R)$ . Utilice esto para poner una métrica $d'$ en $(2^ \mathbb R - \mathbf R)$ . Dar $\mathbf R$ la métrica $\rho'$ para llegar a la línea real. A continuación, sustituye cada una de las dos métricas por su truncamiento .
$d(x,y) = \displaystyle \frac{d'(x,y)}{1+d'(x,y)}$
$\rho(x,y) = \displaystyle \frac{\rho'(x,y)}{1+\rho'(x,y)}$
Esto garantiza que todas las distancias sean inferiores a $1$ . Entonces pon $(2^ \mathbb R - \mathbf R)$ y $\mathbf R$ de nuevo definiendo cualquier $x \in (2^ \mathbb R - \mathbf R)$ y $y \in \mathbf R$ para ser la distancia $2$ aparte.
El espacio resultante es sólo una copia de $\mathbb R$ junto con algún espacio métrico arbitrario al lado. No capta realmente cómo se supone que los otros elementos son subconjuntos de la línea real. Para eso tenemos que hacer más exigencias.
Creo que una demanda adecuada es especificar cómo quieres que sea la métrica en el subespacio $\mathcal F (\mathbb R) = \{A \subset \mathbb R : A$ es finito $\}$ y tratar de ampliar a partir de ahí. Podríamos querer, por ejemplo, la métrica de Hausdorff:
$d(A,B) = \min \{\varepsilon > 0 :$ cada $a \in A$ está a poca distancia $\varepsilon$ de algunos $ b \in B$ y viceversa $\}$
Ahora permítanme mostrarles lo que sucede cuando hacemos la demanda semi-razonable de que $\mathcal F (\mathbb R)$ es denso.
Desde $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ se puede demostrar que bajo la métrica de Hausdorff $\mathcal F (\mathbb Q) = \{A \subset \mathbb Q : A$ es finito $\}$ es denso en $F (\mathbb R)$ . Por extensión $F (\mathbb Q) $ es denso en todo el espacio.
Sin embargo, el subespacio $F (\mathbb Q) $ tiene cardinalidad $|\mathbb Q| = |\mathbb N|$ Esto muestra $2^{\mathbb R}$ debe ser es separable. Y desgraciadamente todo espacio métrico separable tiene cardinalidad como máximo $2^{|\mathbb N|}$ . Esto muestra $2^{\mathbb R}$ es simplemente demasiado grande para admitir una extensión de la métrica de Hausdorff tal que $F (\mathbb R)$ es denso.
Así que tenemos que cocinar condiciones menos restrictivas. . . .
Editar: He aquí un ejemplo:
El espacio $\mathbb (0,1) ^ \mathbb R$ de todas las funciones $(-1,1)\to \mathbb R$ es un espacio métrico bajo la métrica:
$d(f,g) = \displaystyle \max \{|f(x)-g(x)| : x \in (0,1)\}$
Pero, ¿cuál es la cardinalidad? Para calcularlo primero hay que observar que $|\mathbb R| = |\mathbb N||\mathbb R|$ y $|\mathbb R| = |(0,1)|$ . Entonces calcula. . .
$\displaystyle 2 ^ {|\mathbb R|} = 2 ^ {|\mathbb N||\mathbb R|} = (2 ^{|\mathbb N|} )^{|\mathbb R|} = |\mathbb R|^{|\mathbb R|} = |(-1,1)|^{|\mathbb R|} = |(-1,1)^{\mathbb R}|$
Así que este espacio tiene la cardinalidad correcta
