Mal Wolfram| ¿Límite alfa?

Question

Tengo esta función:

$$ f(x,y) = \frac {xy}{|x|+|y|} $$

Y quiero evaluar su límite cuando el $$ (x,y) \to (0,0)$$ Mi conjetura es que tiende a cero. Así que, por definición, si:

$$ \forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0 \diagup \\ 0\lt||(x,y)||\lt \delta \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right| \lt \varepsilon $$ Entonces $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}\frac {xy}{|x|+|y|} = 0 $$ Así:

$$ \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right| = \frac{|xy|}{|x|+|y|} = \frac{|x||y|}{|x|+|y|} \le 1 |y| \lt \delta $$

Así que para cualquier $$\delta \lt \varepsilon$$ la desigualdad es verdadera. Por lo tanto, el límite existe y es igual a cero.

Wolfram|Alpha dice que el límite no existe. Estoy equivocado o es Wolfram|Alpha mal?

Answer 1

Muy simple, tenemos $$ |xy|=\max(|x|,|y|)\min(|x|,|y|)\etiqueta{1} $$ y $$ |x|+|y|\ge2\min(|x|,|y|)\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|\le\frac{\max(|x|,|y|)}{2}\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\max(|x|,|y|)}{2}=0\tag{4} $$

Answer 2

Tienes razón, a pesar de que la mezcla de la dirección de la prueba (por lo que usted escribe, usted, literalmente, acaba de mostrar "si el límite existe, entonces es $0$").

Dado $\epsilon>0$, vamos a $\delta=\epsilon$. Suponga $(x,y)\ne(0,0)$ es un punto de con $|(x,y)|<\delta$. A continuación, especialmente a $0<r<\delta$ $r:=\max\{|x|,|y|\}$ y por lo tanto $$ \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|=\frac{|x|\cdot|y|}{|x|+|y|}\le \frac{r^2}{r+0}=r<\delta<\epsilon,$$ como iba a ser mostrado, es decir, $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{|x|+|y|}=0.$$

Answer 3

Tienes razón, wolfram está mal. Puede ocurrir...

Sólo debe corregir su exposición de la definición. Usted dice:

By definition, if blah blah, then bleh bleh

debe decir:

By definition, blah blah, if bleh bleh

De hecho a probar bleh bleh tener bla bla.

Answer 4

La primera cosa a hacer el cómputo de este tipo de límites está tratando de aislar un almacén de expresión.

Asumiendo $(x,y)\ne(0,0)$ en lo que sigue, claramente tenemos

$$ \left|\frac{y}{|x|+|y|}\right|\le 1. $$

Por lo tanto, podemos escribir

$$ -|x|\le\frac{xy}{|x|+|y|}\le |x| $$

y así

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{|x|+|y|}=0$$

sigue por la contracción teorema.