¿Cuál es la diferencia entre un subgrupo y un subconjunto?

Question

¿Cuál es la diferencia entre un subgrupo y un subconjunto? Apenas conozco el álgebra abstracta, sólo algunas cosas de youtube y wikipedia, pero la noción de que un subgrupo sea parte de un grupo más grande y un conjunto sea parte de algún grupo es indistinguible para mí. Una respuesta simple y agradable estaría bien. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Considere el grupo $ \Bbb Z$ de números enteros en la adición. El subconjunto $S=\{1,2\}$ no es un subgrupo. No es un grupo en absoluto: no está cerrado bajo la operación (adición), ya que $2+2$ no está en $S$ y no tiene una identidad aditiva.

El conjunto $E$ de todos los números enteros, por otra parte, es un subconjunto de $ \Bbb Z$ que es un subgrupo: es un grupo por derecho propio que utiliza la misma operación, además, como $ \Bbb Z$ .

Si $G$ es cualquier grupo, cada subgrupo de $G$ es por definición un subconjunto de $G$ pero como muestra el ejemplo anterior, no todos los subconjuntos de $G$ necesitan ser un subgrupo.

Answer 2

Los grupos son conjuntos con estructura adicional: una operación binaria que tiene ciertas propiedades.

Un subgrupo es un subconjunto que también es un grupo propio, de manera compatible con la estructura original del grupo. Pero no todos los subconjuntos son subgrupos. Para ser un subgrupo hay que contener el elemento neutro, y estar cerrado bajo la operación binaria, y la existencia de un inverso.

Por ejemplo, los grupos nunca están vacíos (tienen un elemento neutro), por lo que el conjunto vacío es siempre un subconjunto pero nunca un subgrupo. Los números racionales son un subgrupo de los números reales, y un subconjunto de los números reales, mientras que $\{0,1\}$ es un subconjunto pero no un subgrupo, $1+1 \neq 0$ . De la misma manera, $ \mathbb N$ es un subconjunto de $ \mathbb R$ que no es un grupo, a pesar de estar cerrado por adición, $1$ no tiene un aditivo inverso (que es $-1$ ) en $ \mathbb N$ .

Answer 3

Tienes leyes que hacen que un conjunto $S$ se convierten en un grupo. Debes hacerte una operación $ \star $ asociado a este conjunto que se cierra con esta operación (si $x,y \in S$ entonces $x \star y \in S$ ) y la operación debe tener estas tres propiedades :

1. Si $a,b,c \in S$ entonces $a \star (b \star c)=(a \star b) \star c$
2. Existe una identidad (única) $e_S$ de tal manera que $a \star e_S=e_S \star a=a$ para cada $a \in S$
3. Por cada $a \in S$ existe un inverso (único) $b$ de tal manera que $a \star b=b \star a=e_S$

Si se cumplen todas estas condiciones, entonces $S$ se llama grupo .

Un subconjunto de $S$ es sólo un subconjunto de $S$ como un conjunto.

Pero un subgrupo de $S$ debe tener las tres propiedades anteriores.

Answer 4

A subgrupo $H$ de $G$ es sólo un no-vacío subconjunto de $G$ de tal manera que $x - y \in H$ si $x,y \in H$ es decir, un subconjunto de $G$ con propiedades adicionales. Por ejemplo, por definición el conjunto vacío no es un subgrupo.