Límite de $( n\sin^2(x\pi)-n\sin^2(\sqrt{n}\pi))/(x-\sqrt{n})$ sin usar L ' Hopital

Question

Se me pidió para probar esto , sin el uso de L'Hôpital... probado algunos trig. identidades con no mucho uso $(\sin(\alpha)-\sin(\beta))(\sin(\alpha)+\sin(\beta))=\sin^2(\alpha)-\sin^2(\beta)$ por ejemplo, y de ahí a la $\sin(\alpha)-\sin(\beta)$ identidad... pero sin éxito. Y trató también de multiplicar num.y denum. por el conjugado.

la pregunta es: Demostrar (sin el uso de L'Hôpital) que: $$ \lim_{x\to \sqrt{n}^+} \frac{n\sin^2(x\pi)-n\sin^2(\sqrt{n}\pi)}{x-\sqrt{n}} = n\pi\sin(2\pi\sqrt{n})$$

Answer 1

Tenga en cuenta que el resultado es equivalente a

$$\lim_{x\to\sqrt{n}^+}\frac{\sin^2\pi x-\sin^2\pi\sqrt{n}}{x-\sqrt{n}}=\pi\sin 2\pi\sqrt{n}\;.\tag{1}$$

SUGERENCIA para $(1)$: Vamos a $f(x)=\sin^2\pi x$. ¿Cuál es la definición de $f\,'(\sqrt n)$? (Y es posible que desee un doble ángulo de la fórmula.)

Añadió: tal vez debería haber enfatizado la palabra definición en la pista. El lado izquierdo de $(1)$ es el límite de un cociente de la diferencia ...

Answer 2

El uso que: $$\frac{n\sin^2\pi x-n\sin^2\pi\sqrt{n}}{x-\sqrt{n}}=n\frac{(\sin\pi x-\sin\pi\sqrt{n})(\sin\pi x+\sin\pi\sqrt{n})}{x-\sqrt{n}}=\\ 2n(\sin\pi x+\sin\pi\sqrt{n})\cos\left(\frac{\pi\left(x+\sqrt{n}\right)}{2}\right)\frac{\sin\frac{\pi(x-\sqrt{n})}{2}}{x-\sqrt{n}}.$$

Answer 3

Tenemos $$ \sin(x\pi)^2-\sin( \sqrt{n}\pi)^2= (\sin(x\pi)+\sin( \sqrt{n}\pi))\cdot (\sin(x\pi)-\sin( \sqrt{n}\pi)) $$ El uso de las fórmulas trigonométricas $$2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} = {\sin(b) + \sin(un) } \\ 2\sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{a+b}{2} = {\sin(b) - \sin(un) } $$ y trigonométricas fundamentales de los límites de $$ \lim_{x\to \theta}\frac{\sin(\mp x\pm\theta)}{\mp x\pm\theta}=1 \quad \lim_{x\to \theta}\frac{1-\cos (\mp x\pm\theta)}{\mp x\pm\theta}=0 $$