Que $x_1, x_2, x_3, x_4$ ser enteros no negativos.
(a) encontrar el número de soluciones a la ecuación siguiente: $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 14 $ $
Tengo $17 \choose 3$ para esto. ¿Es esto correcto?
(b) encontrar el número de soluciones si le añadimos la restricción que $x_i \le 6$ $1 \le i \le 4$
La respuesta que recibió durante la primera pregunta es a la derecha.
Para el segundo, llamar a una distribución de malo si una o más de las $x_i$$\ge 7$. Nuestra estrategia es contar el número de males, y restar de la respuesta de una).
Uno puede tener $2$ de la $x_i$ igual a $7$. Esto se puede hacer en $\binom{4}{2}$ maneras.
Ahora contamos el número de malo en que sólo uno de los $x_i$$\ge 7$. Que uno puede ser seleccionado en $\binom{4}{1}$ maneras. Supongamos que $x_1\ge 7$. Dar $7$ caramelos para niño 1. El resto de los $7$ tienen que ser divididos entre el cuatro personas, con ninguno de los 2, 3, o 4 $7$. Hay $\binom{10}{3}-3$ maneras de hacer esto.
Tenemos un total de $\binom{4}{1}\left[\binom{10}{3}-3\right]+\binom{4}{2}$ malo.
Alternativamente, podemos usar la Inclusión/Exclusión de una forma más explícita. Elija una de las $4$ darle, al menos, $7$ a, y dar su $7$. Podemos distribuir el resto de los $7$ entre el $4$ de personas en $\binom{10}{3}$ maneras. Pero esta doble cuenta el $\binom{4}{2}$ formas para dar a $7$ a dos de las variables. Por lo que el número de factores negativos es $\binom{4}{1}\binom{10}{3}-\binom{4}{2}$.
Para la parte "a" es correcto.
Para la parte "b":
El Uso De Multinomial:
Las formas son equivalentes a: $$\text{ Coefficient of $x^{14}$} (x^0+x^1+x^2+...x^6)^4\\ =\text{ Coeficiente de $x^{14}$} (1-x^7)^4(1-x)^{-1}\\ =\text{ Coeficiente de $x^{14}$ en}\left(1-\binom41x^7+\binom42x^{14}-...\right)(1-x)^{-4}\\ =^*1\times\binom{4+14-1}{14}-\binom41\binom{4+7-1}{7}+\binom42\times1=206$$
El Uso De Exclusión-Inclusión:
Deje $p_i$ ser el caso de que la p $x_i's$ $\ge7$ Ahora: $$p_u=(p_1\cup p_2\cup p_3\cup p_4)=S_1-S_2+S_3-S_4$$ $$\begin{array}{|c|c|}\hline S_i&\text{values}\\\hline S_1&\binom41\left(\binom92+\binom82+\binom72+...\binom22\right)^{**}=480\\ S_2&\binom42\times1\times1=6\\ S_3&0\\ S_4&0\\\hline \end{array}$$ Por eso, $p_u=480-6=474$, por lo que la respuesta de b es $680-343=206$
$^*$ Coeficiente de $x^r$ $(1-x)^{-n}$ $\binom{n+r-1}r$
$^{**}$ Deje $x_1$$k$$x_2+x_3+x_4=14-k$, de maneras para que este se $\binom{16-k}2$
Total: $$\sum_{k=7}^{14}\binom{16-k}{2}=120$$
Uso de funciones de generación. Las formas de seleccionar cada una de las $x_i$ es representado por:
$$ 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = \frac{1 - z^7}{1 - z} $$
Ahora quieres que cuatro de esos, y agregar a a $n$:
$\begin{align} [z^n] \frac{(1 - z^7)^4}{(1 - z)^4} &= [z^n] (1 - 4 z^7 + 6 z^{14} - 4 z^{21} + z^{28}) \cdot \sum_{k \ge 0} (-1)^k \binom{-4}{k} z^k \\ &= [z^n] (1 - 4 z^7 + 6 z^{14} - 4 z^{21} + z^{28}) \cdot \sum_{k \ge 0} \binom{k + 4 - 1}{4 - 1} z^k \\ &= \binom{n + 3}{3} - 4 \binom{n - 4}{3} + 6 \binom{n - 11}{3} - 4 \binom{n - 18}{3} + \binom{n - 25}{3} \\ \end{align}$
Aquí usted tiene que tener cuidado, los términos negativos superior índice no están presentes (no de esos términos están presentes en la suma, el primer factor esencialmente recoge algunos de ellos). En el caso particular $n = 14$:
$$ \binom{14 + 3}{3} - 4 \binom{14 - 4}{3} + 6 \binom{14 - 11}{3} = 206 $$
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