Tensores de curvatura y bivectores

Question

Al principio del artículo "The curvature of 4-dimensional Einstein spaces", de Singer y Thorpe, los autores definen el espacio $\mathcal{R}$ de los tensores de curvatura del espacio vectorial $V$ como el conjunto de transformaciones bilineales simétricas sobre el espacio de bivectores $\Lambda^{2}(V).$

Pocas líneas después de esto, definen el ''mapa de Bianchi'' $b$ como operador $b : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$ de la siguiente manera: $$[b(R)](u_{1},u_{2})u_{3}=\sum_{\sigma \in S_{n}} R(u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)})u_{\sigma(3)},$$ pero no explican la notación. Si $R$ es una transformación $$R: \Lambda^{2}(V) \rightarrow \Lambda^{2}(V),$$ y $u_{1},u_{2}$ y $u_{3}$ son, supongo, vectores de $V,$ ¿qué significa $R(u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)})u_{\sigma(3)}$ ?

Además, definen inmediatamente después de esto la ''contracción de Ricci'' $r$ como operador de $\mathcal{R}$ al espacio de transformaciones lineales simétricas de $V$ por medio de: $$\langle r(R)(v),w \rangle=\mathrm{Tr}\{u \rightarrow R(v,u)w \}.$$

Veo que esto se parece mucho al tensor de Ricci que uno suele encontrar en la geometría riemanniana, pero tengo un problema notacional similar con esta última definición.

Si alguien pudiera aclarar la notación y explicar un poco esta forma de ver el tensor de curvatura (o darme algunas referencias) estaría muy agradecido.

Answer 1

Pues bien, Singer y Thorpe explican la notación (véase la p. 356 del texto original) diciendo que

Utilizando los isomorfismos habituales definidos por el producto interior, un tensor de curvatura en $V$ puede considerarse $2$ -formar en $V$ w espacio vectorial de endomorfismos simétricos sesgados de $V$ .

Así que el significado de $R(x,y)z$ es un endomorfismo $R(x,y)$ aplicado a un elemento $z$ .

Por "isomorfismos habituales" entienden "los isomorfismos musicales", es decir, la identificación del espacio tangente y cotangente.

En la notación de índice abstracto esto puede explicarse como ver un tensor con simetrías $$ R_{abcd} = R_{[ab][cd]}=R_{[cd][ab]} $$ como equivalente (hasta elevar un índice) a un tensor $R_{ab}{}^c{}_d = R_{[ab]}{}^c{}_d$ y $(R(x,y)z)^c = x^a y^b R_{a b}{}^c{}_d z^d$ .

Answer 2

En lugar de convertir el bivector $R(x \wedge y)$ a una 2-forma, se puede utilizar el álgebra de Clifford en su lugar. Definir una operación de producto sobre vectores arbitrarios $a, b, c$ tal que

$$aa = g(a,a), \quad (ab)c = a(bc)$$

Utilizo $g$ aquí para la métrica de Riemann en lugar de $\langle,\rangle$ por razones que se aclararán en breve.

Este "producto geométrico" da lugar a un anillo cuyos elementos se denominan "multivectores". El álgebra exterior es bastante similar: sólo impone que $aa = 0$ en su lugar. Por esta razón, el álgebra de Clifford también es un espacio vectorial graduado. Dado un multivector $A$ la cantidad $\langle A \rangle_k$ denota el "grado $k$ "de este multivector. Un multivector puede tener componentes de varios grados diferentes, pero a menudo, tratamos principalmente con objetos de un solo grado.

Teniendo esto en cuenta, interprete $R(x\wedge y)z$ para vectores $x, y, z$ utilizando el producto clifford como

$$R(x \wedge y)z \equiv \langle R(\langle x y\rangle_2) z\rangle_3 \quad (\text{clifford products})$$

O bien, utilice las siguientes abreviaturas: $\langle \langle A \rangle_p \langle B \rangle_q \rangle_{p+q} \equiv A \wedge B$ y $\langle \langle A \rangle_p \langle B \rangle_q \rangle_{|p-q|} = A \cdot B$ . Estas abreviaturas son comunes, y nos permiten deshacernos de un montón de paréntesis angulares para escribir en su lugar

$$R(x \wedge y)z \equiv R(x \wedge y) \cdot z \quad (\text{clifford shorthand})$$

Sin embargo, debe quedar claro que, independientemente de la notación, la operación está bien definida. Basta con interpretar la curvatura de Riemann $R$ en función de los bivectores en el álgebra de clifford a bivectores en el álgebra de clifford .

Al tener una operación de producto que incorpora la métrica de Riemann y los productos cuña del álgebra exterior nos permite evitar convertir el bivector en una 2-forma.

Para cuestiones de cálculo práctico, se podría escribir $R(x \wedge y)$ en términos de alguna base ortogonal y utilizar el corolario de que, para dos vectores ortogonales $u, v$ , $uv = -vu$ bajo el producto clifford. Esto nos permite escribir $x \wedge y$ en términos de una combinación lineal de dichos términos, lo que permite el uso de la asociatividad, o se puede derivar una gran cantidad de identidades a partir de estos términos (por ejemplo, dados dos vectores $m,n$ y el vector $z$ Ver que

$$(m \wedge n) \cdot z = (n \cdot z) m - (m \cdot z) n = g(n,z) m - g(m,z) n$$

que resulta especialmente útil en este caso).