Mi profesor de Matemáticas de Ingeniería tiene un método de enseñanza muy novedoso. Él piensa que aunque es bueno aprender el lado analítico de las matemáticas, él hace más hincapié en la teoría que en la aplicación. Por lo tanto, nos dio estas preguntas que debemos responder sin una sola ecuación. Es algo nuevo y sin duda disfruto del concepto, pero no estoy seguro si lo hice correctamente. ¿Podría alguien revisar mis respuestas por favor? ¡Gracias!
1. ¿Por qué hay n soluciones a la raíz n-ésima de un número complejo?
Porque si la solución es algún número w a la potencia de n (una serie de números naturales) entonces para cada valor de w hay un único valor de solución.
2. Si una función compleja es analítica, la función necesita cumplir la ecuación de Cauchy-Riemann. Esquematiza el proceso de demostración de la parte necesaria de este argumento.
Si una función compleja se considera analítica, debe tener una derivada en todos los puntos de su dominio. Por lo tanto, si asumimos que una función tiene una derivada, entonces, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, puede expresarse en términos de un límite. Luego podemos dividir el límite en componentes reales e imaginarias, ya que está en un plano complejo. Y dado que la derivada existe, el límite también existe. Esto significa que podemos tomar el límite en cualquier dirección. Si nos acercamos en una dirección horizontal y en una dirección vertical, obtenemos dos ecuaciones diferentes para la derivada de la función. Y dado que se supone que deben ser iguales, si igualamos los términos reales e imaginarios de ambas ecuaciones, obtenemos las dos ecuaciones de Cauchy-Riemann, mostrando así que para que una función sea analítica, debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esta es la condición necesaria para que una función se considere analítica.
3. Esquematiza el proceso de demostración de la parte suficiente del argumento en el problema 2.
La parte suficiente del argumento esquematizado en el problema 13-2 es que la derivada parcial de la parte real u de la función con respecto a x es igual a la derivada parcial de la parte imaginaria v de la función con respecto a y. Además, la derivada parcial de u con respecto a y debe ser igual a la derivada parcial negativa de v con respecto a x. Además, todas las derivadas parciales de la función deben ser continuas. Si suministramos estas sustituciones en la representación en serie de Taylor de la función y reorganizamos, entonces podemos obtener la definición fundamental del cálculo de la derivada de la función con respecto a un camino z. Si sustituimos de manera que todas las derivadas parciales estén en relación con x, entonces obtenemos la derivada de la función en la dirección de x. Lo opuesto es cierto si sustituimos de manera que todas las derivadas parciales estén en relación con y. Y dado que todas las derivadas parciales son continuas, la derivada de la función en ambos casos debe existir. Por lo tanto, la función es diferenciable, demostrando así su cualidad analítica. Ten en cuenta que aunque las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen, no es obligatorio que la función sea analítica hasta que las derivadas parciales sean continuas.
4. Describe el procedimiento general de definir varias funciones complejas: exponencial, trigonométrica, hiperbólica, logarítmica y potencia general. Discute las diferencias y similitudes de las funciones complejas en comparación con las funciones reales.
Por lo que puedo observar, el método general para definir una función compleja es reemplazar la x en la contraparte real de la función con un número complejo. Con este método, armado con la ecuación de Euler, se convierte en un asunto simple de manipulación algebraica obtener las funciones complejas. La función exponencial compleja es muy similar a la función exponencial real en que su derivada es la propia función e incluso es igual a la función real si el número complejo no tiene parte imaginaria. Las funciones trigonométricas complejas, junto con las funciones hiperbólicas, también son similares en que si el número complejo no tiene parte imaginaria, las contrapartes complejas funcionan exactamente de la misma manera. Además, las funciones trigonométricas complejas y las funciones hiperbólicas son enteras, tienen la misma derivada que sus contrapartes reales e incluso siguen las mismas fórmulas generales que las contrapartes reales. Sin embargo, las funciones logarítmicas y de potencia general complejas difieren de sus contrapartes reales. Esto se debe al hecho de que una función exponencial compleja tiene un número infinito de soluciones, lo que no nos permite definir una función logarítmica compleja como lo haríamos con una función logarítmica real. Por lo tanto, las funciones logarítmicas complejas difieren en que si bien los valores reales positivos producen los mismos resultados, los números negativos no lo hacen. El mismo concepto se aplica a las funciones de potencia general compleja (excepto que en este caso la función logarítmica compleja tiene un número infinito de soluciones) y por lo tanto algunas leyes exponenciales no se pueden llevar a cabo con funciones de potencia complejas.
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Creo que el hecho de que estas respuestas sean más largas de lo normal, matemáticas y llenas de ecuaciones, dice mucho sobre este método de enseñanza.
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@akkkk - La longitud de las respuestas no dice nada sobre el método de enseñanza; ¡las respuestas cortas no son indicación de comprensión! Los estudiantes pueden no comprender las ecuaciones que están utilizando, pero aún así pueden obtener las ecuaciones correctamente. Esta no es una tarea sobre publicación, sino por el bien del aprendizaje.