Cómo probar $x^3+y^3+z^3-3xyz\ge C|(x-y)(y-z)(z-x)|$

Question

que $x,y,z\ge 0$ y el tal %#% $ #%

Encontrar el máximo de $$x^3+y^3+z^3-3xyz\ge C|(x-y)(y-z)(z-x)|$

pérdida del witout de nosotros asumir que $C$ $ creo que $$x+y+z=1$ $

entonces $$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=(x+y+z)^3-3(xy+yz+xz)(x+y+z)=1-3(yz+xz+xy)$ $ así que no puedo es dicho $$(x-y)(y-z)(x-z)=?$ $

Answer 1

Esta es la técnica estándar para esto. Este es un poco complicado, pero de todas formas. Que WLOG $x\le y\le z$ y que $y=a+x,z=b+x$. Ahora conecte esto a $$(x+y+z)\frac{1}{2}((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\ge C|(x-y)(y-z)(z-x)|$ $ $$\iff(3x+a+b)(a^2-ab+b^2)\ge Cab(a-b)\quad \text{since } a\ge b$ $ ahora es lineal en $x$. Por lo tanto podemos tomar $x=0$ para lograr el mínimo de LHS. Esto da $ $$(a^3+b^3)\ge Cab(a-b)$$ We take $a=tb$ with $t\ge 1. Entonces $\displaystyle C_{\max}=\min_{t\ge 1}\dfrac{t^3+1}{t(t-1)}$ que creo que es el mencionado arriba. ¿Es este trabajo?

Answer 2

Esto podría ser útil

$x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)$