Forma de Kähler es armónico

Question

Que $M$ sea un múltiple de Kähler con forma fundamental $\omega(X,Y) = h(JX, Y)$. Estoy tratando de mostrar que $\omega$ es armónico. La condición de Kähler implica que $\omega$ es cerrado con respecto a los $d$, por lo que basta para mostrar que $\delta \omega = *d*\omega = 0$. Sin embargo, he podido hacerlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Elija un local ortonormales marco de $X_1, Y_1, ..., X_m, Y_m$ tal que $J(X_i) = Y_i$ y denotan por $(\alpha_1, \beta_1, ..., \alpha_m, \beta_m)$ el marco doble ($\alpha_i = X_i^{\flat}, \beta_i = Y_i^{\flat})$. En tal marco, $\omega$ está dado por $\omega = \sum \alpha_i \wedge \beta_i$. El ortonormales marco de $(X_1, Y_1, ..., X_m, Y_m)$ es de orientación positiva y por lo $(\alpha_1, \beta_1, ..., \alpha_m, \beta_m)$ está orientado positivamente marco de covectors con respecto a la inducida por la orientación en $T^{*}M$. Por lo tanto, es fácil describir cómo la estrella de Hodge actos en $k$-formas de cuña de los productos de los miembros de la trama.

Para $\alpha_i \wedge \beta_i$, tenemos $$ *(\alpha_i \wedge \beta_i) = \pm \alpha_1 \wedge \beta_1 \wedge \ldots \hat{\alpha_i} \wedge \hat{\beta_i} \ldots \wedge \alpha_m \wedge \beta_m, $$ cuando el signo está determinado por la orientación de la base $$ (\alpha_i, \beta_i, \alpha_1, \beta_1, \ldots, \alpha_m, \beta_m). $$ Puesto que se trata también de orientación positiva, el signo es $+1$ y $$ *\omega = \sum \alpha_1 \wedge \beta_1 \wedge \ldots \hat{\alpha_i} \wedge \hat{\beta_i} \ldots \wedge \alpha_m \wedge \beta_m = \frac{1}{(m-1)!} \omega^{m-1}. $$

Esto implica inmediatamente que $*\omega$ es cerrado y por lo $\omega$ es co-cerrado y armónico.

Answer 2

Que la forma de Kahler es armónica también se desprende la identidad $$ [L \Delta_ {d}] = 0, $$ donde $L$ es el operador de Lefschetz y actúa según el $L(\nu) := \nu \wedge \omega$, $\nu$ Dónde está cualquier forma. Esta identidad se desprende a su vez las identidades de Kahler. De hecho, esta identidad muestra que acuñar cualquier forma armónica con la forma de Kahler producirá otra vez una forma armónica.

Answer 3

Tengo otra idea para solucionar este problema. Sabemos que $\delta$ puede ser descrito por la conexión y la contracción como sigue: $$\delta (\omega)=-\sum_{k=1}^{n}i(V_k)D_{\bar{V}_k}\omega.$ $ especialmente, elegimos la conexión de Chern, entonces el $D^{(0,1)}=\bar{\partial}$. Y % $ $$D_{\bar{V}_k}\omega=\bar{\partial}\omega(\bar{V}_k)=0.$$\omega$es armónico.