Supongamos que $f$ es la función de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$. Sea el conjunto de $\mathbf{A}$ que contiene todos los puntos discontinuos de $f$. ¿Es $\mathbf{A}$ Borel medible?
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iturki
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El conjunto de puntos de continuidad es una $G_\delta$. Así que los puntos de discontinuidad es $F_\sigma$. $F_\sigma$ los conjuntos son sin duda Borel.
Para ver esto: Vamos a $C$ ser el conjunto de puntos de continuidad de $f$. Definir $\text{osc}_f(x) = \inf \{\text{diam}(f(U)) : x \in U \text{ and } U \text{ is open }\}$. Nota: $f$ es continua en a $x$ si y sólo si $\text{osc}_f(x) = 0$. Demostrar que para cada una de las $\epsilon$, la $E_\epsilon = \{x : \text{osc}_f(x) < \epsilon\}$ está abierto. A continuación,$C = \{x : \text{osc}_f(x) = 0\} = \bigcap_n E_{\frac{1}{n}}$. Así que lo que usted llama$A = \mathbb{R} - C$$F_\sigma$.
La oscilación es de lo pequeño que la imagen de un conjunto abierto que contiene a $x$ puede ser hecho. Supongamos $f$ es continua en a $x$, entonces para todos los $\epsilon$, existe un $\delta$ tal que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ siempre $|x - y| < \delta$. Esto significa que $\operatorname{diam}((x - \delta, x + \delta)) < 2\epsilon$ (utilice el triángulo de la desigualdad). Por lo $\operatorname{osc}_f(x) < 2\epsilon$. Desde $\epsilon$ es arbitrario, $\operatorname{osc}_f(x) = 0$. Por el contrario supongamos $\operatorname{osc}_f(x) = 0$. A continuación, para todos los $\epsilon$, existe un conjunto abierto $U$ contiene $x$ tal que $|f(a) - f(b)| < \epsilon$ si $a,b \in U$. Elija $\delta$ tal que $(x - \delta, x + \delta) \subseteq U$. Entonces si $|x - y| < \delta$, $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Por lo $f$ es continua.
