Para reducir al mínimo $x^TAx$ donde $A$ no es necesariamente positivo semi definida.

Question

Deje $A\in \mathbb{n\times n}$ ser una matriz simétrica. Deje $x\in \mathbb{R}^{n\times 1}$ ser un vector desconocido.

El problema es $$\min \limits_x x^TAx.$$

Desde $A$ es una entrada, no estoy seguro

1 es positivo semidefinite (el objetivo es convexa);

2 o es negativo semidefinite (el objetivo es cóncava);

3 o indefinido (el objetivo no es ni cóncava ni convexa. )

El caso 1 es simple. En el Caso 2, el mínimo es infinito. Así que la gente puede decir que no está bien definido. Podría cualquiera me diga cómo debo manejar caso 3? Es mínimo el infinito?

Si yo cambio el problema,

$$\min \limits_x x^TAx$$

donde $x\in C$, $C$ es un conjunto convexo. Por ejemplo,$\sum\limits_i^n x_i=1$; o $|x_i|\le 1$. Es allí cualquier manera de encontrar a $\arg\min\limits_x x^TAx$?

Answer 1

Supongamos que hay un $v$ tal que $v^TAv < 0$, es decir, $A$ no es positivo semidefinite. Cada $\lambda > 0$, tenemos %#% $ de #% se deduce que si $$(\lambda v)^TA(\lambda v) = \lambda^2 (v^T Av) \ \overset{\lambda \to \infty}{\longrightarrow}\ -\infty$ no es positivo que semidefinite el problema es ilimitado desde abajo. Esto es en particular cierto para matrices indefinidas.