Espacios de Hausdorff de funciones continuas

Question

Estoy tratando de resolver el Ejercicio 2.35 en John M. Lee. Introducción a las variedades topológicas, p. 32:

Sea $X$ un espacio topológico. Supongamos que para cada $p\in X$ existe una función continua $f:~X\longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $f^{-1}(0)=\{p\}$. Demuestra que $X$ es Hausdorff.

(La inversa $f^{-1}$ aquí se entiende como la inversa conversa, no una inversa biyectiva.)

Mi pensamiento es que si tomamos el subconjunto abierto $(-1;1)$ de $\mathbb{R}$ para cada $f$, dado que el mapa es continuo, obtenemos conjuntos abiertos que contienen a $p_i$, y se reduce a mostrar que la intersección es vacía. No logro seguir esta parte importante completamente.

Answer 1

Si $q\ne p$, sea $f_p$ una función $f:~X\longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $f^{-1}(0)=\{p\}$ (esto existe por hipótesis), y sea $\alpha=f_p(q)>0$, y sea $\epsilon=\frac{\alpha}2$. Considera las imágenes inversas bajo $f_p$ de $(\leftarrow,\epsilon)$ y $(\epsilon,\to)$.

Answer 2

Para cada función continua $f\colon X\to \mathbb R$, define $f^{\times}$ en $X\times X$ como $f^{\times}(p,q)=f(p)-f(q)$.

Considera la intersección: $$\bigcap_{f\colon X\to\mathbb R}\left(f^{\times}\right)^{-1}(\{0\})$$

Answer 3

Sean $p, q$ puntos distintos en $X.

Supongamos que existe una función continua $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f^{-1}(0)= \{ p \}$. Observamos que, para algún $a>0$, $f^{-1}(-a,a) = U \subseteq X$ y $U$ es abierto en $X$ ya que es la imagen inversa de un conjunto abierto de números reales. Por supuesto, $p \in U$ también es claro a partir de su construcción.

De igual manera, tenemos la existencia de una función continua $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ para la cual $g^{-1}(0) = \{ q \}$. Además, para algún $b>0$, $g^{-1}(-b,b) = V \subseteq X$ tiene a $V$ como abierto que contiene a $q$.

Entonces, ahí lo tienes, dos conjuntos abiertos, cada uno conteniendo uno de los puntos de interés. Ahora, solo necesitamos (posiblemente) encontrar conjuntos más pequeños que sean disjuntos. ¿Cómo hacerlo?