Locus de un punto medio

Question

Deje $Γ_1$ ser un círculo de radio $4$, y deje $Γ_2$ ser un círculo de radio $14$. La distancia entre los centros de $Γ_1$$Γ_2$$25$. Deje $A$ ser una variable de punto en $Γ_1$, vamos a $B$ ser una variable de punto en $Γ_2$, y deje $M$ ser el punto medio de la $AB$. Deje $S$ ser el conjunto de todas las posibles ubicaciones de $M$. A continuación, encontrará el área de $S$. Estoy recibiendo $81\pi$. Ver la figura

Con uno de mis amigos, tengo este.Vamos a C1 estar centrado en $(0,0)$ y dejar C2 ser $(25, 0)$. Los puntos que se acostará en el límite de S son 1. Punto medio de (-4, 0) y (11, 0), es decir, (3.5, 0) 2. Punto medio de (4, 0) y (39, 0), es decir (21.5, 0) 3. Punto medio de las tangentes de unirse a C1 y C2

Deje que el ángulo que forma el punto de intersección de la tanget al círculo C1 y C2 que forma con el eje x se $\theta $ El punto de intersección de C1 y C2 $$(x_1, y_1) = (4\cos{\theta}, 4\sin{\theta})$$ $$(x_2, y_2) = (25+14\cos{\theta}, 14\sin{\theta})$$

La ecuación de la tangente es $$ y = -\frac{x}{\tan{\theta}} + c$$

Poner los dos puntos en la línea de la ecuación y la eliminación de c da $$ 10\sin{\theta} = -\frac{25 + 10\cos{\theta}}{\tan{\theta}}$$ $ De$ 10\sin{\theta}\bronceado{\theta} = -25 - 10\cos{\theta} \frac{2}{\cos{\theta}} = -5 \cos{\theta} = -\frac{2}{5}$$

Esto le da $$ \sin{\theta} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$$

Los dos pares de puntos de intersección de C1 y C2 $$ (x_1, y_1) = (-\frac{8}{5}, \frac{4\sqrt{21}}{5})$$ $$ (x_2, y_2) = (\frac{97}{5}, \frac{14\sqrt{21}}{5})$$ y $$(x_1, y_1) = (-\frac{8}{5}, -\frac{4\sqrt{21}}{5})$$ $$ (x_2, y_2) = (\frac{97}{5}, -\frac{14\sqrt{21}}{5})$$

Esto le da a los otros dos a mediados de los puntos como $(\frac{89}{10}, \frac{9\sqrt{21}}{5})$, $(\frac{89}{10}, -\frac{9\sqrt{21}}{5})$

El uso de todos los mediados de los puntos obtenidos y ponerlos en la elipse de ecuación $$ \frac{(x - x_1)^2}{a^2} + \frac{(y - y_1)^2}{b^2}$$ siguientes se obtienen $$ x_1 = \frac{25}{2}$$ and $$ y_1 = 0$$ $ a = 9$ $b=9$. Dónde está el mal.($81\pi$ está mal!) Por favor ayuda, gracias.

Answer 1

Podemos escribir$$A = A_0 + 2 a (\cos\theta, \sin\theta) \qquad B = B_0 + 2 b (\cos\phi, \sin\phi)$ $ donde$A_0$ y$B_0$ son los centros de los círculos, y$2a$ y$2b$ son los radios. Entonces$$M = C_0 + (a\cos\theta + b \cos\phi, a\sin\theta+b\sin\phi)$ $ donde$C_0 = \frac12(A_0+B_0)$. Tenga en cuenta que $$ \begin{align} |\overline{MC_0}|^2 &= (a\cos\theta+b\cos\phi)^2+(a\sin\theta+b\sin\phi)^2 \\[4pt] &= a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) \end {align} $$ para que$$| a - b | \;\leq\; |\overline{MC_0}| \;\leq\; a+b$ $

Por lo tanto, el locus de$M$ está definitivamente confinado al anillo con el radio exterior$a+b$ y el radio interior$|a-b|$. Una vez que muestre que$M$ representa todos los puntos de ese anillo, entonces el área es$$\pi (a+b)^2 - \pi(a-b)^2 = 4 a b \pi = \pi\cdot(\text{product of radii})$ $

Answer 2

parece un anillo con un amplio radio 9 y radio menor de 5, y por lo tanto el área de $\pi(9^2-5^2)=56\pi$.

Voy a añadir más detalles más adelante (yo lo hice), pero la idea principal es, en primer lugar fijar el punto de $A$ sobre el círculo de izquierda y deje $B$ variar en el círculo de la derecha. Entonces el punto medio $M$ ( $A$ $B$ ), sí hace un círculo (que voy a llamar a mitad de un círculo) que tiene radio de la mitad del radio del círculo de la derecha (que es radius $7$).

Dicen que la izquierda círculo centrado en el origen y en el círculo de la derecha en $(25,0)$. Fix $A=(4,0)$ y deje $B$ variar en el círculo de la derecha. La correspondiente mediados del círculo interseca el $x$-eje en $(4+39)/2=21.5$, es decir, en $(21.5,0)$, y en $(4+11)/2=7.5$, es decir, en $(7.5,0)$. Si repetimos esta operación con el punto $A=(-4,0)$, la correspondiente a mediados de círculo interseca el $x$-eje en $(3.5,0)$ y a las $(17.5,0)$.

Ahora, dado cualquier punto fijo $A$ sobre el círculo de izquierda (y dejando $B$ variar en el círculo de la derecha) el correspondiente mediados del círculo tiene una "izquierda" punto de $P$ que es igual a la del punto medio de la $A$ $(11,0)$ (siendo el último el de "izquierda" punto de el círculo de la derecha).

Podríamos pensar en el locus de estos "izquierda" puntos de $P$ como el lugar geométrico de los puntos medios de $A$ $(11,0)$ donde $A$ varía en el círculo de izquierda a $\Gamma_1$. Este lugar está a mitad de un círculo (de el punto de $(11,0)$ y el círculo de izquierda a $\Gamma_1$), llame a $L$, que se cruza con el $x$-eje en $(-4+11)/2=3.5$, es decir, $(3.5,0)$ y a las $(4+11)/2=7.5$, es decir,$(7.5,0)$. Por lo tanto $L$ radio $2$ (la mitad del radio de la $\Gamma_1$) y el centro de la $(5.5,0)$.

Cada punto de $L$ es la "izquierda" punto de un medio-círculo determinado por un punto fijo $A$ $\Gamma_1$ cuando dejamos $B$ variar en $\Gamma_2$. La unión de todos los de mediados de los círculos es el conjunto $S$ de todos los posibles puntos medios, como se define en la pregunta por el OP. Si $P$ es la "izquierda" punto de un mediados de-círculo, entonces se dice que a mediados de círculo es la traducción por $P$ de la circunferencia $J$ radio $7$ (la mitad del radio del círculo de la derecha) y el centro de la $(7,0)$ (y donde la "izquierda" punto de $J$ es el origen).

Desde $P$ varía en $L$ se deduce que el locus $S$ de todos los medios en cuestión tal y como pide el OP es igual a la suma de Minkowski $L+J$. La suma de Minkowski de dos círculos es claramente un anillo (o un disco), y ahora tengo que explicar por qué es el anillo creo que es ... o a la figura que el anillo, si mi primera conjetura resulta equivocado. Trabajando en ello.

Claramente, este anillo es simétrica alrededor de la $x$-eje, y su intersección con la a $x$-eje está contenido en el segmento de recta con extremos de $(3.5,0)$ $(21.5,0)$ (y contiene estos dos extremos), y por lo tanto el centro del anillo es $(3.5+21.5)/2=12.5$$(12.5,0)$. Así que el círculo más grande de este anillo tiene radio de $21.5-12.5=9$. El anillo también contiene los puntos de $(7.5,0)$$(17.5,0)$, por lo que el radio menor es en la mayoría de las $17.5-12.5=5$. Este hecho sería exactamente el radio menor a condición de que no hay puntos de el anillo que están en el segmento de línea que une $(7.5,0)$ $(17.5,0)$ (a excepción de sus puntos finales). El último parece plausible, sino que necesita una prueba, déjame que piense.

Bueno, sí, la curvatura de $L$ es mayor que la curvatura de $J$ (ya que el radio de $L$ $2$ y el radio de $J$$7$). De ello se sigue que si $P$ es cualquier punto en $L$, entonces el círculo de $P+J$ (es decir, la traducción de $J$$P$) se cruza con el $x$-eje de una vez en algún lugar a la izquierda del punto de $(7.5,0)$, siendo el último el de "derecha" punto de $L$. (Tiene una segunda intersección manera-más a la derecha, donde no me importa mirar, ya que me parece irrelevante, ciertamente no entre a$(7.5,0)$$(12.5,0)$.) Este hecho implica que cuanto más pequeño es el radio del anillo es $5$, y por lo tanto el área del anillo $S$$\pi(9^2-5^2)=\pi(81-25)=56\pi$.

Answer 3

Esta es la geometría analítica más probable, así que diría que podemos poner:

ps

Tomemos ahora por ejemplo

ps

El punto medio de$$\Gamma_1\;:\;\; x^2+y^2=16\;\;;\;\;\;\Gamma_2\;:\;\; (x-25)^2+y^2=196$ viene dado por

ps

Ahora tenemos

ps

y así obtenemos el círculo$$\begin{cases}A=\left(x\,,\,\sqrt{16-x^2}\right)\in\Gamma_1&,\;-4\le x\le4\\{}\\B'=\left(11\,,\,0\right)\in\Gamma_2\end{cases}$ al tomar ambos signos en el$\;AB'\;$ - coordenada de$$\left(\,\frac{x+11}2\;,\;\frac{\sqrt{16-x^2}}2\,\right)$

Trate de generalizar lo anterior a cualquier punto$$\left(\frac{x+11}2-\frac{11}2\right)^2+\frac{16-x^2}4=\frac{x^2}{4}+4-\frac{x^2}4=4$.

Answer 4

Sólo necesitamos considerar el punto medio de los rayos a través origen directo (no invertido) tangente a la traza necesarios locus, aquí se muestra como el perímetro exterior del círculo amarillo.El radio de loci de los puntos medios parece ser el promedio de círculos tangentes $ (4+14)/2 =9 $ área $ \pi\cdot 9^2 = 81 \pi,$ para mí también.

La anterior disposición geométrica tiene un poco de intuición incorporado, por lo que deben ser removidos para establecer el resultado directo de la formulación de la siguiente manera:

Ya que los puntos en círculos son arbitrarias,he asignado a los parámetros de $ u,v $ para la rotación alrededor de sus centros. Quieres ver excursión de medio punto en todo el campo de variación de $ u,v.$ que en realidad es una superficie que se está buscando que debe regirse por esta parametrización.

Es conveniente elegir el punto de reunión de directo tangentes como origen/polo como queremos que los puntos medios de extremal posiciones en el círculo.

Para encontrar la posición del centro del círculo más pequeño con respecto al origen/polo aplicamos triángulo relación de similitud:

$ \dfrac{h_1}{4}=\dfrac{h_1+ 25}{14}, \rightarrow ( h_1= 10,h_2= 35) $

Dado círculos de todos los puntos generales son:

$$ x_1 = a \cos u + h_1, y_1 = a \sin u ; x_2 = b \cos v + h_1+h_2, y_2 = b \sin v ; $$

Punto medio como función de los parámetros de $u,v$

$$ (x,y) = [(x_1+ x_2)/2 , (y_1+ y_2)/2 ] = ( a \cos u + b \cos v + h1 + h2)/2, (a \sin u + b \sin v)/2; $$

Al $ v = 0, u =0,$ obtenemos, respectivamente, dos curvas que son fácilmente reconocidos como los círculos:

$$ ( x - \frac{b+ h_1+h_2}{2})^2 + y^2 = (a/2)^2, $$

$$( x - \frac{a +h_1+h_2}{2})^2 + y^2 = (b/2)^2 $$

con radios $ (a/2,b/2) $ $h $ de los desplazamientos en el eje x se muestra en negro y espeso de color como:

$$ ( \frac{b+ h_1+h_2}{2},\frac{a+ h_1+h_2}{2} ) $$ respectively touching at their starting point parameters $ u = v = 0 ,$ which gives radius of circle S required to be $(a + b)/2 = (14+4)/2 = 9. $ Its area $\pi \, 9^2 = 81 \pi $.

( El círculo interior tiene radio de $(a - b)/2 $ por otro locus, pero no es relevante aquí.El incluido tangente en contacto con el círculo de anillo tiene un radio: $ (a-b)/4 $).

De no haber sido un círculo,sobre puede ser encontrado como un singular solución.

El boceto incorpora la totalidad de las constantes.

EDIT1:

Sólo como una retrospectiva, me podría reconocer el radio de ponerse en contacto con el círculo S en un punto intermedio debe ser directamente llegado a $ (a+b)/2$, después de la fijación de la ubicación de los polos !