Ejemplo de un proceso simple limitado$H_t$ que cambia el valor sólo una vez que$\int_0^t H_s dB_s$ no tiene distribución normal?

Question

Actualmente estoy estudiando para un examen, y al estudiar uno de los ejemplos que estoy tratando de construir es un proceso simple limitado$H_t$ que cambia el valor sólo una vez que$$\int_0^t H_s\,dB_s$ $ no tiene una distribución normal. Sin embargo, no pude encontrar nada. ¿Podría alguien ayudar por favor?

EDIT: Progreso hasta ahora. ¿Qué tal cualquier$H_s = \textbf{1}_{s < T}$, con$T$ aleatorio? Pero no sé cómo mostrar que esto funciona ...

Answer 1

Si se permite$T$ depender de$B$, puede usar$T_K=\inf\{t|B_t>K\}$. Su indicador se convierte en equivalente a$H_s=1_{\sup_{u<s}B_u<K}$.

La integral se convierte en:$$\int_0^t H_s\,dB_s=B_{\min(t,T_K)}$ $

Desde donde es fácil de concluir.

Answer 2

Para un$T$ no aleatorio puede dividir la integral y obtener una suma de dos Gaussianos. Esto es claramente gaussiano.

Para un$T$ aleatorio, digamos con soporte finito, puede condicionar en$T$ para obtener el resultado anterior. Marginalizando en$T$, obtendrá una mezcla de Gaussian.