muestra que si$P(z)$ no tiene cero complejo, entonces$\frac{1}{P(z)}$ está limitado

Question

¡Espero que alguien me pueda iluminar!

Si$P(z)$ es un polinomio, muestra que si$P(z)$ no tiene ningún cero complejo, entonces$\frac{1}{P(z)}$ está limitado.

Answer 1

Amitesh Datta descritos prueba es absolutamente correcto. Permítanme darles otro enfoque, que es en cierto sentido más directa (por ejemplo, no es una prueba por contradicción). Las diferencias entre su respuesta (la primera!) y la mía son relativamente menores.

Podemos suponer que la $P(z)$ es no constante.

Paso 1: Para cualquier polinomio no constante de la función $P(z)$, $\lim_{z \rightarrow \infty} |P(z)| = \infty$. (Esto fácilmente se reduce al caso de $z$ una variable real, en cuyo caso es familiar de cálculo.)

Paso 2: Si para todos $z \in \mathbb{C}$ $P(z) \neq 0$, a continuación, la función de $f(z) = \frac{1}{P(z)}$ es un continuo [de hecho holomorphic, pero no vamos a necesitar este] la función de$\mathbb{C}$$\mathbb{C}$. Por otra parte, por el Paso 1, $\lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = 0$.

Paso 3: yo creo que cualquier función continua $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ que desaparece en el infinito , es decir, ha $\lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = 0$ - es limitada. De hecho, no existe $R_1 > 0$ tal que para todos los $z$$|z| \geq R_1$, $|f(z)| \leq 1$. Por otra parte, desde la $\{z \in \mathbb{C} \ | \ |z| \leq R_1 \}$ es un disco cerrado en el plano complejo, es compacto y por tanto, cada función continua en $R_1$ es limitada: no existe $M \in \mathbb{R}$ tal que para todos los $z$ con $|z| \leq R_1$, $|f(z)| \leq M$. De ello se desprende que $f$ es limitado en todos los de $\mathbb{C}$$\max \{M,1\}$.

Aquí hay otra manera de interpretar Paso 3: para cualquier localmente compacto espacio de $X$, uno puede dar un significado a una función $f: X \rightarrow \mathbb{C}$ de fuga en el infinito: esto significa que por cada $\epsilon > 0$, existe un subconjunto compacto $K \subset X$ tal que $|f(x)| \leq \epsilon$ todos los $x \in X \setminus K$. Pero en realidad esto es equivalente a decir que el $f$ se extiende continuamente a la de un punto de compactification $X_{\infty} = X \cup \{\infty \}$ $X$ $f(\infty) = 0$ . Entonces, desde el $f$ se extiende continuamente a una función con un dominio compacto, es acotada. Tenga en cuenta que en este caso el punto de compactification de $\mathbb{C}$ no es nada más que la esfera de Riemann, y esta manera de ver las funciones complejas juega un papel importante en el análisis complejo.

Answer 2

Supongamos, por una contradicción, que la función definida por la regla de $f(z)=\frac{1}{p(z)}$ es no acotada. En este caso, existe un complejo número de $z_n$ tal que $\left|f(z_n)\right|>n$ para todos los enteros positivos $n$. Por supuesto, esto implica que $\left|p(z_n)\right|<\frac{1}{n}$ para todos los enteros positivos $n$.

Ejercicio 1: Demostrar que $\lim_{\left|z\right|\to\infty} \left|p(z)\right|=\infty$.

Ejercicio 2: Demostrar que la secuencia de $\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ está acotada. (Sugerencia: use el Ejercicio 1.)

Ejercicio 3: Demostrar que la secuencia de $\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tiene un convergentes larga. (Sugerencia: use el Ejercicio 2.)

Ejercicio 4: Probar que $z\to p(z)$ es una función continua de $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$.

Ejercicio 5: Deducir que $p$ tiene un complejo de cero y, por tanto, obtener una contradicción. (Sugerencia: use el Ejercicio 3 y Ejercicio 4.)

Espero que esto ayude!

Answer 3

"si$p(z)$ no tiene cero complejo, entonces$\frac{1}{p(z)}$ está limitado"

Realmente no; la función exponencial es uno de los contraejemplos más simples ...