Serie infinita de la función de Von Mangoldt

Question

Estoy tratando de calcular la siguiente suma infinita

ps

donde$$\sum_{n=2}^\infty \,\frac{\Lambda(n)}{n^2 \ln n},$ es la función de Mangoldt. Me parece que el resultado es estrictamente inferior a 1/2. ¿Alguien sabe una referencia donde se calcula esa serie?

Answer 1

ps

ps

Answer 2

Una manera de acercarse a esta suma es echarlo en términos de la primer función zeta, $$ P(s) = \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p^s}.$$ Entonces $$ \sum_{n \geq 2} \frac{\Lambda(n)}{n^2 \log n} = \sum_{p} \sum_{k \geq 1} \frac{\Lambda(p^k)}{p^{2k} \log (p^k)} = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k} \sum_{p} \frac{1}{p^{2k}} = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k} P(2k). \tag{1}$$ Podemos calcular los $(1)$ mediante la suma de los primeros términos y delimitación del resto. Esto nos lleva a considerar $$ \sum_{1 \leq k \leq K-1} \frac{1}{k} P(2k) + \sum_{k \geq K} \frac{1}{k} P(2k).$$ Tomando la primera de 2000 términos muestra la primera suma se acerca a $0.49770030\ldots$ Vamos ahora a centrarnos totalmente en el resto.

Nota suelto trivial obligado $$ P(n) \leq \big( \zeta(n) - 1\ \big).$$ El $-1$ tiene el simple efecto de la eliminación de la principal $1$ de los zeta de la función, lo que nos deja sólo con rápida disminución de los términos. Entonces tenemos $$ \sum_{k \geq K} \frac{1}{k} P(2k) \leq \sum_{k \geq K} \frac{1}{k} \big(\zeta(2k) - 1\big).$$ El uso de la integral de-prueba-de la desigualdad $$ \sum_{n \geq 2} \frac{1}{n^{2k}} \leq \int_2^\infty \frac{1}{t^{2k}}dt + \frac{1}{2^{2k}} = \frac{1}{2k-1} \frac{1}{2^{2k-1}} + \frac{1}{2^{2k}},$$ estamos obligados por el error $$ \sum_{k \geq K} \frac{1}{k} \bigg( \frac{1}{2k-1} \frac{1}{2^{2k-1}} + \frac{1}{2^{2k}}\bigg),$$ para el que es muy fácil ver que esto no contribuye de manera significativa para que en el término de arriba (y disminuye de manera exponencial en $K$).

Así que la serie infinita es igual a $0.49770030\ldots$