Así se simplifica la expresión
\begin{align}
\left | \frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2} \right | = \left | \frac{(x-1)(3x+1)}{2x^2+2} \right |.
\end{align}
La buena noticia es que tenemos un $|x-1|$ aparecen, pero también hay un $|3x+1|$ $|2x^2+2|,$ que son expresiones que no queremos. Lo que hay que hacer aquí es obligado no deseados expresiones por números, lo que me demuestra en este problema.
Supongamos $\delta < 1.$ ¿Qué sucede si $|x-1|< \delta$ ?
En primer lugar, vemos a $0 < x < 2.$ Multiplicando todos los lados de la desigualdad por $3$ y, a continuación, la adición de $1$ a todos lados, vemos a $1<3x+1<7,$ $|3x+1|<7.$ Segundo, vemos a cuadrar todos los lados de $0<x<2$ y, a continuación, añadir $2$, $2<2x^2+2<10,$ por lo $\frac{1}{|2x^2+2|} < \frac{1}{2}.$
Ahora, para cualquier $\epsilon>0,$ pongámonos $\delta= \min \lbrace 1, \frac{2 \epsilon}{7} \rbrace.$ ¿por Qué funciona esto ?
Si $\delta=1,$ a continuación, vemos a $|x-1| < \delta$ implica $|x-1|<\frac{2 \epsilon}{7}$ y también
\begin{align}
\left|f(x)-\frac{3}{2} \right| = \left | \frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2} \right | = \left | \frac{(x-1)(3x+1)}{2x^2+2} \right |< \frac{7|x-1|}{2}< \frac{7}{2} \frac{2 \epsilon}{7}= \epsilon
\end{align}
Si $\delta=\frac{2 \epsilon}{7}$, entonces ya tenemos $|x-1|< \delta$ implica
\begin{align}
\left|f(x)-\frac{3}{2} \right|=\left | \frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2} \right | = \left | \frac{(x-1)(3x+1)}{2x^2+2} \right |< \frac{7|x-1|}{2}< \frac{7}{2} \frac{2 \epsilon}{7}= \epsilon.
\end{align}
