Probar

Question

El título es bastante claro. Debo probar $\lim_{x\to 1} \frac{x+2}{x^2+1}=\frac{3}{2}$ utilizando la definición epsilon-delta del límite.

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Dado cualquier $\varepsilon \gt 0$, existe un $\delta =$

Que $0 \lt \lvert x-1 \rvert \lt \delta \Rightarrow \lvert\frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2} \rvert \lt\varepsilon$

$\frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2}= \frac{-3x^2+2x+1}{2(x^2+1)}$

He logrado expresar el numerador y el denominador como tal

$3 x ^ 2 + 2 x + 1 =-(x-1) (3 x + 1) \\ 2(x^2+1) = 2 x ^ 2 + 2 = 2(x-1) ^ 2 + 4(x-1) + 4$

Regresar a la fracción $\frac{-(x-1)(3x+1)}{2(x-1)^2 + 4(x-1) +4}$

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Estoy seguro sobre cómo seguir y realmente agradecería alguna orientación.

Answer 1

Así se simplifica la expresión $$\begin{align} \left | \frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2} \right | = \left | \frac{(x-1)(3x+1)}{2x^2+2} \right |. \end{align}$$ La buena noticia es que tenemos un $|x-1|$ aparecen, pero también hay un $|3x+1|$ $|2x^2+2|,$ que son expresiones que no queremos. Lo que hay que hacer aquí es obligado no deseados expresiones por números, lo que me demuestra en este problema.

Supongamos $\delta < 1.$ ¿Qué sucede si $|x-1|< \delta$ ?

En primer lugar, vemos a $0 < x < 2.$ Multiplicando todos los lados de la desigualdad por $3$ y, a continuación, la adición de $1$ a todos lados, vemos a $1<3x+1<7,$ $|3x+1|<7.$ Segundo, vemos a cuadrar todos los lados de $0<x<2$ y, a continuación, añadir $2$, $2<2x^2+2<10,$ por lo $\frac{1}{|2x^2+2|} < \frac{1}{2}.$

Ahora, para cualquier $\epsilon>0,$ pongámonos $\delta= \min \lbrace 1, \frac{2 \epsilon}{7} \rbrace.$ ¿por Qué funciona esto ?

Si $\delta=1,$ a continuación, vemos a $|x-1| < \delta$ implica $|x-1|<\frac{2 \epsilon}{7}$ y también

$$\begin{align} \left|f(x)-\frac{3}{2} \right| = \left | \frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2} \right | = \left | \frac{(x-1)(3x+1)}{2x^2+2} \right |< \frac{7|x-1|}{2}< \frac{7}{2} \frac{2 \epsilon}{7}= \epsilon \end{align}$$

Si $\delta=\frac{2 \epsilon}{7}$, entonces ya tenemos $|x-1|< \delta$ implica

$$\begin{align} \left|f(x)-\frac{3}{2} \right|=\left | \frac{x+2}{x^2+1} -\frac{3}{2} \right | = \left | \frac{(x-1)(3x+1)}{2x^2+2} \right |< \frac{7|x-1|}{2}< \frac{7}{2} \frac{2 \epsilon}{7}= \epsilon. \end{align}$$

Answer 2

Es igual su fracción, en valor absoluto,

$$\left|\frac{(x-1)(3x+1)}{2(x^2+1)} \right|<\left|\frac{(x-1)(3x+1)}{x^2} \right|.$$

Ahora, si $|x-1|<\delta$, entonces el $|x|<\delta+1$. Así que si $\delta\leq1$ y $|x|<2$ y $|x^2|<4$. Así que si elegimos $\delta=\min\{1,\frac{7\epsilon}{4}\}$, entonces la desigualdad anterior es menor que $\epsilon$, que es lo que queríamos demostrar.

Answer 3

Su desigualdad puede escribirse $$\left|\frac{(x-1)(3x+1)}{x^2+1}\right|<2\varepsilon\etiqueta{*}$$ Si $x>0$,$x^2+1>1$, lo $\frac{1}{x^2+1}<1$. La condición de que $x>0$ está satisfecho tan pronto como $\delta<1$, cuando tome $0<|x-1|<\delta$.

En este caso, tenemos $$\left|\frac{(x-1)(3x+1)}{x^2+1}\right|< \lvert(x-1)(3x+1)\rvert$$ Ya que también se $3x+1<7$, debido a $x<2$, tenemos $$\lvert(x-1)(3x+1)\rvert<7\lvert x-1\rvert<7\delta$$ Si tomamos $\delta=\min\{2\varepsilon/7,1\}$, podemos lograr lo que queremos: para $0<|x-1|<\delta$, tenemos $$\left|\frac{(x-1)(3x+1)}{x^2+1}\right|< \lvert(x-1)(3x+1)\rvert <7\lvert x-1\rvert<7\delta\le7\frac{2\varepsilon}{7}=2\varepsilon$$

El conjunto solución de (*) puede ser mayor que el conjunto descrito por $$0<\lvert x-1\rvert<\min\!\left\{\frac{2\varepsilon}{7},1\right\}$$ pero eso no es importante: lo que se necesita para la comprobación de la corrección de un límite que para cada $\varepsilon>0$ le corresponde una $\delta>0$ etcétera: una vez que encuentre un valor de $\delta$ todos los números de $\delta'$ $0<\delta'<\delta$ estaría bien así.

En algunas aplicaciones relacionadas con aproximaciones, conseguir "el mayor $\delta$" puede ser importante, pero no para la prueba de la corrección.

Answer 4

En esta respuesta podemos continuar donde el OP dejó, haciendo un último 'normalización' cambio:

$\tag 1 \frac{-(x-1)(3x+1)}{2(x-1)^2 + 4(x-1) +4} = \frac{-(x-1)(3(x-1)+4)}{2(x-1)^2 + 4(x-1) +4}$

Denominador:

Si $|x - 1| \lt 1/2$

$\quad |2(x-1)^2 + 4(x-1) +4| \gt |4(x-1) +4| \gt 2$

Tenga en cuenta que $4(x-1) \gt -2$.

$\text{ }$

Numerador:

Si $|x - 1| \lt 1/2$

$\quad \; | -(x-1)\;(3\,(x-1)+4) | = |x-1| \, |3(x-1)+4|$

$\qquad \quad \le | x-1|\;( 3 \,|x-1| + 4) \lt 5.5 \, |x-1|$

El uso de la desigualdad de triángulo.

Ahora el valor absoluto de la relación de la expresión (1) se hace más grande cuando el numerador se hace más grande y el denominador se hace más pequeño. Así que si $|x - 1| \lt 1/2$ y desde $\frac{5.5}{2} = \frac{11}{4}$,

$\tag 2 \text{Absolute value of (1) } \lt \frac{11}{4} |x -1|$

Ahora estamos listos! Vamos a la $\varepsilon \gt 0$ reto será dado y establecer

$\qquad \delta = min(\frac{1}{2},\frac{4 \varepsilon}{11})$