Vamos a considerar el problema de la siguiente way.By este, el número de $+$ $-$ se puede determinar en cualquier paso.Considerar, las matrices de números binarios.
$A=(a_{ij})_{n\times n}$ donde $a_{ij}= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if $i=j$};\\ 0& \mbox{if $i\ne j$}.\end{array} \right. $
$R_{\alpha }=(e_{ij})_{n\times n}$ donde $e_{ij}= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if $i=\alpha $};\\ 0& \mbox{if $i\ne \alpha $}.\end{array} \right.$
$C_{\beta }=(d_{ij})_{n\times n}$ donde $d_{ij}= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if $j=\beta $};\\ 0& \mbox{if $j\ne \beta $}.\end{array} \right.$
Ahora considere las funciones $r_\alpha ,c_\beta $ sobre matrices definidas por, $r_\alpha A=A+R_\alpha$, $c_\beta A=A+C_\beta$
Ahora, $r_\alpha c_\beta A=r_\alpha c_\beta (a_{ij})_{n\times n}$
$=r_\alpha (a_{ij}^\prime )_{n\times n}$ donde $a_{ij}^\prime = \left\{ \begin{array}{ll} a_{ij}+1 & \mbox{if $j=\beta $};\\ a_{ij} & \mbox{if $j\ne \beta$}.\end{array} \right.$
$=(
_{ij}^{\prime \prime })_{n\times n}$ where, $ a_{ij}^{\prime \prime}= \left\{ \begin{array}{ll} a_{ij}^\prime +1 & \mbox{if %#%#%};\\ a_{ij}^\prime & \mbox{if %#%#%}.\end{array} \right.$
Por lo tanto, $i=\alpha $(i,j)=(\alpha ,\beta )$i\ne \alpha $i\ne \alpha $ a_{ij}^{\prime \prime } = \left\{ \begin{array}{ll} a_{ij} & \mbox{if $j\ne \beta )$ or ($(i=\alpha $ and $j\ne \beta ) $};\\ a_{ij}+1 & \mbox{if $i\ne \alpha $ and $j=\beta )$ or $
También, $ and $
$}.\end{array} \right. $ donde $c_\beta r_\alpha A=c_\beta r_\alpha (a_{ij})_{n\times n}$i=\alpha $=c_\beta (a_{ij}^{\prime \prime \prime })_{n\times n}$i\ne \alpha $a_{ij}^{\prime \prime \prime }= \left\{ \begin{array}{ll} a_{ij}+1 & \mbox{if $
$};\\ a_{ij} & \mbox{if $ donde, $}.\end{array} \right. $j=\beta $=(a_{ij}^{\prime \prime \prime \prime })_{n\times n}$j\ne \beta $ a_{ij}^{\prime \prime \prime \prime }= \left\{ \begin{array}{ll} a_{ij}^{\prime \prime \prime } +1 & \mbox{if $
Por lo tanto, $};\\ a_{ij}^{\prime \prime \prime }& \mbox{if $(i,j)=(\alpha ,\beta )$}.\end{array} \right.$i\ne \alpha $a_{ij}^{\prime \prime \prime \prime } = \left\{ \begin{array}{ll} a_{ij} & \mbox{if $j\ne \beta )$ or ($(i=\alpha $ and $j\ne \beta ) $};\\ a_{ij}+1 & \mbox{if $i\ne \alpha $ and $j=\beta )$ or $
Por eso, $ and $. También, $}.\end{array} \right. $$r_\alpha c_\beta =c_\beta r_\alpha $.
Ahora considere la posibilidad de cualquier número finito de $r_\alpha r_\beta =r_\beta r_\alpha $ $c_\alpha c_\beta =c_\beta c_\alpha $ se aplica en $r_{\alpha }^{'s}$.A continuación, la matriz resultante puede ser escrito como $c_{\beta }^{'s}$ donde $A$ $r_{\alpha _1}r_{\alpha _2}...r_{\alpha _k}c_{\beta _1}c_{\beta _2}...c_{\beta _t}A$ $\alpha_i\ne \alpha_j$(las distintas $\beta_i\ne \beta_j$ son tomadas como si $i\ne j$ $r_{\alpha _i}^{'s}$ no afecta a los elementos de $r_{\alpha _i}=r_{\alpha _j}$, similar reson es para $r_{\alpha _i}r_{\alpha_j}$)
Ahora, $A$ donde
$\beta_i^{'s}$\mathbf {o bien}$r_{\alpha _1}r_{\alpha _2}...r_{\alpha _k}c_{\beta _1}c_{\beta _2}...c_{\beta _t}=(b_{ij})_{n\times n}$ i\in \{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _k\}$b_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll} a_{ij} +1& \mbox{when $\mathbf {o}$ $j\in \{\beta _1,\beta _2,...,\beta _t\}$ $
Vamos $ $;$ };\\ a_{ij} & \mbox{otherwise}.\end{array} \right. $. Por eso,$R=\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _k\}$$T=\{\beta _1,\beta _2,...,\beta _t\}$ , dicen.
Por eso, $\mid R\mid=k,\mid T\mid=t$ si $\mid R\cap T\mid=q$,
$b_{ij}=0$ y $\mathbf {either}$ $i=j$ $(i,j)\in (R\times T^c)\cup (R^c\times T)$ y $\mathbf {or}$
$i\ne j$ si $(i,j)\in (R\times T)\cup(R^c\times T^c)$, $b_{ij}=1$ y $\mathbf {either}$ $i=j$ $(i,j)\in (R\times T)\cup (R^c\times T^c)$ y $\mathbf {or}$
Por eso, $i\ne j$ $(i,j)\in (R\times T^c)\cup(R^c\times T)$ valores de $b_{ij}=0$ y
$\mid R\cap T^c\mid +\mid R^c\cap T\mid +\mid R\mid \mid T\mid -\mid R\cap T\mid +\mid R^c\mid \mid T^c\mid -\mid R^c\cap T^c\mid=n^2-n(k+t+1)+2(k+t)+2kt-4q$ $(i,j)$ valores de $b_{ij}=1$
Ahora, el uso de los hechos de los que $\mid R\cap T\mid +\mid R^c\cap T^c\mid +\mid R\mid \mid T^c\mid -\mid R\cap T^c\mid +\mid R^c\mid \mid T\mid -\mid R^c\cap T\mid =n(k+t+1)-2(k+t)-2kt+4q$ $(i,j)$ el resultado deseado de la siguiente manera.
