Quiero saber de un mapa libre de puntos fijos desde una 2-esfera menos un punto a sí mismo. Por favor, mencione también por qué pensó en su ejemplo.
Mi ejemplo: una esfera menos el polo norte es el plano complejo a través de la proyección estereográfica, y considera una traslación no trivial del plano.
Tomemos un campo vectorial en una 2-esfera que sólo desaparece en un único punto, y un flujo del mapa de identidad dará un difeomorfismo sin puntos fijos en el complemento de ese único punto.
Tu ejemplo es el caso de tomar el campo vectorial constante en el plano. La inversa de la proyección estereográfica de este campo vectorial sobre la esfera da un campo vectorial con un único cero aislado de índice 2.
La característica de Euler de una esfera es 2 Por lo tanto, creo que tu ejemplo debería ser el único ejemplo hasta la homotopía.
¿Podría explicar con más detalle cómo la característica de Euler conduce al comentario de la homotopía?
Para un campo vectorial con singularidades aisladas, la suma de los índices de las singularidades es igual a la característica de Euler (teorema del índice de Hopf). Esto obliga a que el campo vectorial tenga una singularidad de índice 2 en la puntura, y por el teorema de los puntos fijos de Lefschetz el mapa de Gauss es de grado 1. Dos mapas de esfera con el mismo grado son homotópicos. Dado un mapa sin puntos fijos, se puede obtener un campo vectorial; me imaginé haciéndolo a partir de la proyección estereográfica. (Más directamente, creo que se puede utilizar este campo vectorial para obtener una homotopía del mapa sin puntos fijos a la identidad).
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